Зворотна теорема Вієта – це дивовижна математична теорема, яка встановлює зв'язок між корінням квадратного рівняння та його коефіцієнтами. Теорема дуже корисна під час вирішення завдань перебування коренів рівняння чи визначення його коефіцієнтів.
Суть теореми у тому, що й відомі коріння квадратного рівняння, можна точно визначити його коефіцієнти. Це означає, що, знаючи значення коренів, ми можемо відновити вихідне рівняння.
Зворотна теорема Вієта має кілька формулювань, вихідне формулювання є системою рівнянь, що зв'язують коефіцієнти рівняння та його коріння. Інше формулювання теореми дозволяє виразити коефіцієнти рівняння через суму та добуток його коріння.
Зворотна теорема Вієта знаходить своє застосування у широкому спектрі завдань – від алгебри до геометрії. Ця теорема дозволяє спростити розв'язання рівнянь та проведення обчислень, а також є основою для інших важливих математичних результатів.
| Зворотна теорема Вієта: | Звучить так: |
|---|---|
| Для багаточлена з цілими коефіцієнтами: | Якщо сума всіх коренів багаточлена дорівнює нулю, то всі можливі комбінації коренів, взятих по одному або декілька, також дорівнюють нулю. |
| Для квадратного рівняння: | Якщо сума коренів дорівнює нулю, то добуток коренів дорівнює вільному члену рівняння, поділеному на коефіцієнт при старшому члені рівняння. |
| Для кубічного рівняння: | Якщо сума всіх можливих комбінацій коренів дорівнює нулю, то сума творів усіх можливих комбінацій коренів дорівнює відношенню вільного члена рівняння коефіцієнта при старшому члені рівняння. |
| Для рівнянь вищих ступенів: | Аналогічно розширюється на багаточлени найвищих ступенів. |
Яка Теорема обернена до теореми Вієта?
Зворотна теорема Вієта Якщо числа x₁ і x₂ такі, що їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння x2 + bx + c = 0, взятому з протилежним знаком, а їх добуток дорівнює вільному члену, то ці числа є корінням x2 + bx + c = 0.
Як звучить теорема Вієта?
Теорема Вієта для квадратного тричлена Сума коренів наведеного квадратного тричлена $x^{2}+p x+q=0$ дорівнює його другому коефіцієнту $p$ з протилежним знаком, а твір – вільному члену $q$.
Чим відрізняється дискримінант від Вієта?
Дискримінант дається просто як даність (за рідкісним винятком, коли показують виведення цих формул через приведення до повного квадрата) Найпотужніша за своєю суттю теорема Вієта дається в кінці і лише як евристичний спосіб вирішення