Що таке ступінь числа

Першими арифметичними діями з числами, які освоїв людина, були додавання і віднімання. У міру накопичення знань у людей з’являлися нові потреби. Наприклад, коли виникла необхідність складати (або віднімати) багато разів одні й ті ж числа, людина придумала операції множення і ділення. Через деякий час, коли треба було проводити багаторазові операції множення (або поділу) одних і тих же чисел, з’явилося зведення в ступінь і добування кореня з числа.

А + А + А + А = 4 · A
A · A · A · A = A 4
Вираз A4 читається, як “число А в ступені чотири” або “ступінь числа А з показником чотири”:

А – це підстава ступеня;

4 – це показник ступеня.

Показник ступеня показує скільки разів потрібно перемножити між собою число А.

Обчислення значення ступеня називають зведенням до степеня – зведення числа А в четверту ступінь.

Все вищесказане вірно для випадку ступеня з натуральним показником – An; n> 1 і є натуральним числом.

Якщо n = 1, то A1 = А. Тому, будь-яке число можна записати у вигляді першого ступеня цього ж числа.

Піднесення до степеня має найвищий пріоритет в алгебраїчних виразах, якщо в них немає дужок, після йдуть множення-ділення і складання-віднімання:

5-3 + 2 · 32
5-3 + 2 · 9
5-3 + 18
2 + 18 = 20
Стандартний вид числа
За допомогою ступенів дуже зручно і компактно можна записувати дуже великі малі числа. Таке уявлення називається стандартним видом числа.

А · 10n
1≤ n n – натуральне число.
У такому вигляді можна представити будь-яке число, більше 10.

25 = 2,5 · 101
3850 = 3,85 · 103
50 000 000 = 5 · 107
твір ступенів
Перемножать можна тільки ступеня з однаковим підставою, при цьому їх показники складаються, підстава, природно, залишається колишнім.

An · Am = An + m
22 · 23 = 22 + 3 = 25 = 32
4 · 8 = 32
Приватне ступенів
Приватне двох ступенів з однаковим підставою дорівнюватиме ступеня з тим же підставою, і різниці їх показників (з показника ступеня діленого віднімається показник ступеня дільника).

An: Am = An-m
23:22 = 23-1 = 21 = 2
8: 4 = 2
Все вищесказане справедливо для А ≠ 0; n> m.

Зведення ступеня в ступінь
При зведенні ступеня в ступінь – підстава ступеня залишається колишнім, а показники ступінь перемножуються.

(An) m = An · m
(23) 2 = 23 · 2 = 26 = 64
82 = 64
Зведення дробу до степеня
При зведенні в ступінь звичайного дробу, зводяться до рівня і чисельник, і знаменник.

(A / B) n = An / Bn
(2/4) 2 = 22/42 = 4/16 = 1/4
2/4 · 2/4 = 4/16 = 1/4

Урок 10. Степінь числа. Піднесення до степеня. Таблиця степенів натуральних чисел

Bankchart.com.ua розказує, що таке степінь числа, показник і основа степеня, як правильно піднести натуральне число до степеня. Виконуючи приклади піднесення до степеня на уроці з математики, ми розглянемо нульову, другу і третю степінь чисел.

Путівник за статтею

1. Що таке степінь числа? Показник степеня та його основа. Піднесення до степеня
2. Знак піднесення до степеня
3. Виконайте піднесення до степеня: розв’язуємо приклади
4. Особливості степенів
5. Нульова степінь
6. Друга і третя степінь числа: підносимо числа до квадрата, куба6.1 Піднесення до квадрата чисел, що закінчуються на цифру 56.2 Піднесення до квадрата двозначних чисел, що починаються на цифру 5
7. Порядок виконання арифметичних дій у виразах зі степенями
8. Таблиця степенів натуральних чисел від 1 до 10
9. Калькулятор піднесення до степеня онлайн
10. Властивості степенів з натуральним показником. Формули і дії зі степенями.
11. Властивості степеня з цілим від’ємним показником. Спрощення виразів зі степенями

УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСІХ

Що таке степінь числа? Показник степеня та його основа. Піднесення до степеня

На попередніх уроках ми розглядали множення як суму рівних доданків. Наприклад,

Про числову рівність зліва можна сказати, що суму рівних доданків згорнули в добуток. Справа числова рівність читається так добуток 7 × 10 розгорнули в суму рівних доданків.

Тепер розглянемо запис добутку однакових множників: 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7. Для згорнутого запису добутку кількох однакових множників використовують спеціальний вираз:

Такий вираз називають степенем. І читають так: сім в десятому степені або десятий степінь числа сім.

У цьому виразі число 7 заведено називати основою степеня. Основа степеня показує, яке число множимо саме на себе. Основа степеня – число, яке підносять до степеня. Число 10 – показник степеня, він показує, скільки рівних множників було в добутку. Тобто скільки разів ми множили число (основу) само на себе. Показник степеня – це число, яке показує, до якого степеня підноситься основа.

Таким чином, добуток рівних множників можна згорнути в степінь:

Отже, піднесення до степеня – це дія, за допомогою якої добуток рівних множників згортають у степінь.

Запишемо дію піднесення до степеня в буквеному виразі. Якщо а – число, яке підносимо до степеня n, то добуток n-множників, кожен з яких дорівнює а

Знак піднесення до степеня

Символ піднесення до степеня: ^

Виконайте піднесення до степеня: розв’язуємо приклади

Приклад 1. Піднесіть число 3 до 6 степеня

Піднести число 3 до 6 степеня – це означає перемножити число 3 шість разів.

Особливості степенів

1. Якщо поміняти місцями основу степеня і його показник, то значення степеня зміниться.

Значення степеня не зміниться лише в тому випадку, коли основа степеня дорівнює його показнику. Наприклад,

– в цьому випадку, якщо поміняти місцями основу і показник степеня, значення степеня не зміниться.

2. Якщо основа степеня – число 1, то при будь-якому натуральному показнику степеня n, значення степеня буде рівне 1.

3. Якщо показник степеня дорівнює 1, то значення степеня при будь-якому натуральному а дорівнює а:

Нульова степінь

Якщо показник степеня дорівнює нулю, то при піднесенні будь-якого натурального числа до нульового степеня, отримаємо в результаті число 1. Або простими словами: будь-яке натуральне число в нульовій степені дорівнює 1.

Друга і третя степінь числа: підносимо числа до квадрата, куба

Особливу увагу варто приділити піднесенню чисел до 2 і 3 степені. Другу степінь прийнято називати квадратом числа, а третю – кубом. Наприклад,

Виконаємо піднесення до квадрата, куба:

Піднесення до квадрата чисел, що закінчуються на цифру 5

Для піднесення до квадрата числа, що закінчуються на цифру 5, необхідно число його десятків помножити на число збільшене на одиницю, і до добутку справа дописати 25.

Приклад. Виконайте піднесення до степеня: 45 в квадраті

Помножимо число десятків 4 на число десятків, збільшене на 1, тобто на 5: 4×5=20

Допишемо справа число 25, отримаємо 2025. Перевіряємо,

Піднесення до квадрата двозначних чисел, що починаються на цифру 5

Для того щоб піднести до квадрата двозначне число, що має 5 десятків, необхідно до 25 додати цифру одиниць числа і до результату треба дописати справа квадрат числа одиниць так, щоб у результаті вийшло чо­тиризначне число.

Приклад. Виконайте піднесення до степеня: 57 в квадраті

До 25 додаємо 7 (число одиниць): 25 + 7 = 32

Дописуємо квадрат числа одиниць:

Отримаємо результат 3249.

Приклад. Виконайте піднесення до степеня:

справа дописуємо 01, щоб у результаті вийшло чотиризначне число: 2601

Порядок виконання арифметичних дій у виразах зі степенями

Піднесення до степеня – це п’ята арифметична дія, а також дія третього ступеня, тому її виконують першою перед множенням і діленням, додаванням та відніманням. Тобто у виразі зі степенями порядок виконання дій буде наступним:

1. Піднесення до степеня
2. Множення і ділення
3. Додавання і віднімання

Таблиця степенів натуральних чисел від 1 до 10

Пропонуємо вашій увазі таблицю степенів для натуральних чисел від 1 до 10, за допомогою якої ви зможете швидко виконувати розрахунки. Нагадуємо, в даній таблиці основа і показник степеня обмежується числами 1-10.