Тема 57. Числові ряди. Збіжність і розбіжність. Сума ряду. Дії над збіжними рядами. Необхідна ознака збіжності. Гармонічний ряд.

називається числовим рядом. При цьому числа називаються членами ряду.

Означення 2. Сума скінченого числа перших членів ряду називається ою частинною сумою ряду:

Означення 3. Якщо існує скінчена границя

то її називають сумою ряду (13.1) і говорять, що ряд збігається.

Якщо не існує або дорівнює нескінченності, то говорять, що ряд (13.1) розбігається і суми не має.

Це – геометрична прогресія із першим членом і знаменником ( ).

Якщо то сума перших її членів обчислюється за формулою

При одержимо ряд , який розбігається

Отже, границі немає і ряд в цьому випадку розбігається.

Таким чином, геометрична прогресія збігається тільки тоді, коли її знаменник за абсолютною величиною менший одиниці.

Приклад 2. Знайти суму ряду

Р о з в ‘ я з о к. Розкладемо дріб на простіші дроби

Теорема 1. На збіжність числового ряду не впливає відкидання або додавання скінченого числа його членів.

Д о в е д е н н я. Нехай сума перших членів ряду (1.1), сума відкинутих , сума членів ряду, що входять в суму і не входять в . Тоді маємо:

де постійне число, що не залежить від Із останнього співвідношення випливає існування скінченої границі при існуванні скінченої границі коли і, навпаки. А це доводить вірність даної теореми.

Теорема 2. Якщо ряд (13.1) збігається і його сума дорівнює то ряд

де яке-небудь постійне число, також збігається і його сума дорівнює

Д о в е д е н н я. Очевидно, що частинна сума даного ряду дорівнює і Теорема доведена.

збігаються і їх суми, відповідно, дорівнюють і , то ряди

також збігаються і їх суми будуть

Д о в е д е н н я. Частинні суми даних рядів мають вигляд

що і доводить дану теорему.

13.2. Необхідна ознака збіжності ряду

При дослідженні рядів одним із головних питань є питання про те, чи збігається даний числовий ряд. Нижче будуть розглянуті достатні ознаки збіжності рядів. Тут ми розглянемо необхідну ознаку збіжності ряду, тобто встановимо умову, при невиконанні якої ряд розбігається.

Теорема. Якщо ряд (13.1) збігається, то його ий член прямує до нуля при

Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.1) збігається, тобто має місце рівність

де сума ряду; але тоді має місце також рівність

Віднімаючи почленно із першої рівності другу, одержимо:

що й потрібно було довести.

Наслідок. Якщо , то числовий ряд розбігається.

називається гармонічним рядом. Цей ряд розбігається, хоча й

Нижче буде показано, що ряди збігаються при і розбігаються при

Література для самоосвіти: [8], [10], [11].

Необхідна ознака збіжності ряду

У багатьох задачах більш важливим є питання про те, збігається ряд чи ні, а питання про суму ряду вже є другорядним, тому виникає необхідність у обґрунтуванні ознак збіжності рядів. Розділяють необхідну ознаку збіжності, яка єдина для всіх типів рядів, і достатні ознаки, принципи побудови яких залежать від типів рядів, при дослідженні яких вони застосовуються.

Необхідна ознака збіжності ряду ґрунтується на наступній теоремі.

Теорема 32.4. Якщо ряд збігається, то границя загального члена ряду при дорівнює 0, тобто:

Доведення. Нехай ряд збігається і його сума дорівнює . Оскільки , то можна записати, що .

Візьмемо границю останнього співвідношення:

Співвідношення (32.13) визначає необхідну ознаку збіжності ряду.

Треба мати на увазі, що коли необхідна умова не виконується, то досліджуваний ряд є розбіжним. Тобто умова:

є достатньою ознакою розбіжності числового ряду.

Дійсно, якщо б ряд збігався, то границя його загального члену повинна дорівнювати нулю. Таким чином, ряд розбігається.

Однак, якщо необхідна ознака виконується, це ще не означає, що відповідний ряд є збіжним. Тобто питання про збіжність ряду залишається відкритим і потребує подальшого дослідження. Наприклад, для гармонійного ряду необхідна ознака збіжності виконується, а безпосереднє обчислення границі часткової суми ряду показує, що ряд є розбіжним.

Дослідити, чи збігається ряд:

Знайдемо границю загального члену ряду:

тобто необхідна ознака не виконується, звідси випливає, що ряд розбігається.

Перевіряємо виконання необхідної ознаки збіжності. Згідно з другою чудовою границею отримуємо:

Це значить, що необхідна ознака збіжності ряду не виконується, отже, даний ряд є розбіжним.

Дослідити на збіжність ряд

Знайдемо границю загального члену ряду:

Отже, небхідну ознаку для даного ряда застосувати не можна, але зрозуміло, що ряд на нескінченності поводить себе як гармонійний ряд, тобто розбігається. Для дослідження рядів, для яких виконується необхідна ознака, потрібні достатні ознаки збіжності, або можливість знайти формулу для загального члена послідовності частинних сум даного ряду.

studopedia.org – Студопедия.Орг – 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с) .