Площа ромба

Формули площі ромба через діагоналі і кути між сторонами ( S ):

Формула площі ромба через висоту або радіус вписаного кола ( S ):

Знаходження площі ромба: формула і приклади

Ромб – це геометрична фігура; паралелограм, має 4 рівні сторони.

Формула обчислення площі

По довжині боку і висоті

Площа ромба (S) дорівнює добутку довжини його сторони і висоти, проведеної до неї:

По довжині боку і розі

Площа ромба дорівнює добутку квадрата довжини його сторони і синуса кута між сторонами:

S = a 2 ⋅ sin α

За довжинами діагоналей

Площа ромба дорівнює одній другій твори його діагоналей.

Приклади завдань

Завдання 1
Знайдіть площу ромба, якщо довжина його боку дорівнює 10 см, а висота, проведена до неї – 8 см.

Рішення:
Використовуємо першу формулу, яку розглянуто вище: S = 10 см ⋅ 8 см = 80 см 2 .

Завдання 2
Знайдіть площу ромба, сторона якого дорівнює 6 см, а гострий кут – 30 °.

Рішення:
Застосуємо другу формулу, в якій використовуються відомі за умовами завдання величини: S = (6 см) 2 ⋅ sin 30 ° = 36 см 2 ⋅ 1/2 = 18 см 2 .

Завдання 3
Знайдіть площу ромба, якщо його діагоналей рівні 4 і 8 см, відповідно.

Рішення:
Скористаємося третьої формулою, в якій використовуються довжини діагоналей: S = 1/2 ⋅ 4 см ⋅ 8 см = 16 см 2 .

Площа проекції ромба

ПЛОЩА ПРОЕКЦІЇ ПЛОСКОЇ ФІГУРИ

Теорема : Площа проекції плоского багатокутника на деяку площину дорівнює площі проектованого багатокутника, помноженою на косинус кута між площиною багатокутника і площиною проекції.

1 етап: Проектована фігура – трикутник АВС, сторона якого АС лежить в площині проекції a (паралельна площині проекції a).

По теоремі про три перпендикуляри

В ₁ D – висота

– лінійний кут двогранного кута

2 етап: Проектована фігура – трикутник АВС, жодна зі сторін якого не лежить в площині проекції a і не паралельна їй.

3 етап: Проектована фігура – довільний багатокутник.

Багатокутник розбивається діагоналями, проведеними з однієї вершини, на кінцеве число трикутників, для кожного з яких теорема вірна. Тому теорема буде вірна і для суми площ всіх трикутників, площини яких утворюють один і той же кут з площиною проекції.

Зауваження : Доведена теорема справедлива для будь-якої плоскої фігури, обмеженої замкнутою кривою.

1. Знайти площу трикутника, площина якого нахилена до площини проекції під кутом , якщо проекція його – правильний трикутник зі стороною а.

2. Знайти площу трикутника, площина якого нахилена до площини проекції під кутом , якщо проекція його – трикутник з бічною стороною 10 см і підставою 12 см.

3. Знайти площу трикутника, площина якого нахилена до площини проекції під кутом , якщо проекція його – трикутник зі сторонами 9, 10 і 17 см.

4. Обчислити площу трапеції, площина якої нахилена до площини проекції під кутом , якщо проекція її – рівнобедрена трапеція, більше підставу якої 44 см, бічна сторона 17 см і діагональ 39 см.

5. Обчислити площу проекції правильного шестикутника зі стороною 8 см, площина якого нахилена до площини проекції під кутом .

6. Ромб зі стороною 12 см і гострим кутом утворює з цією площиною кут . Обчислити площу проекції ромба на цю площину.

7. Ромб зі стороною 20 см і діагоналлю 32 см утворює з цією площиною кут . Обчислити площу проекції ромба на цю площину.

8. Проекція навісу на горизонтальну площину є прямокутник зі сторонами і . Знайти площу навісу, якщо бічні грані – рівні прямокутники, нахилені до горизонтальної площини під кутом , а середня частина навісу – квадрат, паралельний площині проекції.

10. Вправи на тему «Прямі та площини в просторі»:

1. Сторони трикутника дорівнюють 20 см, 65 см, 75 см. З вершини більшого кута трикутника проведено до його площини перпендикуляр, рівний 60 см. Знайти відстань від кінців перпендикуляра до більшої сторони трикутника.

2. З точки, віддаленої від площини на відстані см, проведено дві похилі, які утворюють з площиною кути, рівні , а між собою – прямий кут. Знайти відстань між точками перетину похилих з площиною.

3. Сторона правильного трикутника дорівнює 12 см. Точка М обрана так, що відрізки, що з’єднують точку М з усіма вершинами трикутника, утворюють з його площиною кути . Знайти відстань від точки М до вершин і сторін трикутника.

4. Через сторону квадрата проведено площину під кутом до діагоналі квадрата. Знайти кути, під якими нахилені до площини дві сторони квадрата.

5. Катет рівнобедреного прямокутного трикутника нахилений до площини a, що проходить через гіпотенузу, під кутом . Довести, що кут між площиною a і площиною трикутника дорівнює .

6. Двогранний кут між площинами трикутників АВС і DВС дорівнює . Знайти АD, якщо АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, ВD = DС = см.

Площа ромба – формули та приклади

У геометрії ромб – це особливий тип паралелограма, у якому дві пари протилежних сторін рівні. Це означає, що всі сторони ромба рівні.

Учні часто плутають квадрат і ромб. Основна відмінність квадрата від ромба полягає в тому, що всі внутрішні кути квадрата є прямими, тоді як у ромба вони не є прямими.

У цій статті ми дізнаємось, як знайти площу ромба за різними параметрами, такими як діагоналі, сторона та висота, сторона та внутрішній кут, а також розв’яжемо приклади для кожного випадку.

Як знайти площу ромба?

Ромб – це паралелограм. Ми знаємо, що площа паралелограма визначається множенням сторони на висоту, яка проведена до цієї сторони. Те саме стосується і ромба.

До прикладу, якщо розглянути ромб , висота якого проведена до сторін та , то, для обчислення його площі, ми можемо скористатися наступною формулою: , де – площа ромба.

Зауваження: площа ромба вимірюється в квадратних одиницях, таких як , , тощо.

Формула площі ромба через діагоналі.

Якщо відомі розміри діагоналей ромба, то для того щоб знайти його площу, необхідно помножити довжину діагоналей і розділити на 2:

Доведемо істенність даної формули. Для цього, розглянемо ромб . Нехай – точка перетину діагоналей та .

Як видно з рисунка, діагональ ділить ромб на два трикутника і . Відповідно, площа ромба дорівнюватиме сумі площ цих трикутників: .

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, тому . Отже, – висота трикутника , а – висота трикутника . Знайдемо площі цих трикутників через висоту та основу:

Підставивши далі отримані значення в записану раніше формулу площі ромба, матимемо:

Таким чином, площа ромба через діагоналі дорівнює , що і треба було довести.

Площа ромба через сторону та кут.

Площа ромба дорівнює добутку квадрата сторони на синус кута цього ромба:

Зазначимо, що виведення даної формули випливає з виведення формули для площі паралелограма, а саме, проведемо діагональ ромба .

За властивістю діагоналей ромба, вона розіб’є його на два рівні трикутники і .

Оскільки трикутники рівні, їх площі також рівні ( ). Тоді, площа ромба дорівнюватиме сумі площ трикутників, з яких він складається, тобто .

Скориставшись далі, формулою площі трикутника, а саме , отримаєм:

Отже, площа ромба через сторону і кут дорівнює . Причому, не важливо, який з кутів брати гострий чи тупий. Вони суміжні, а, як відомо, суміжні кути мають однаковий синус.

Зауваження: якщо позначити довжину сторони, висоти та діагоналей ромба буквами , , і відповідно, то формули площі перепишеться у більш звичній буквенній формі:

Площа ромба – приклади з відповідями.

Розглянуті вище формули для площі ромба застосовуються для розв’язання наступних прикладів. Кожен приклад має своє рішення, але спробуйте розв’язати задачі самостійно, перш ніж дивитися на відповідь.

Приклад 1: чому доірвнює площа ромба з основою і висотою ?

За умовою, маємо, що довжина кожної сторони ромба дорівнює , а його висота – . Обчислимо площу ромба за такими параметрами:

Таким чином, площа ромба дорівнює .

Приклад 2: площа ромба дорівнює а висота – . Яка довжина його сторін

В даному випадку, знаючи площу, ми повинні знайти сторони ромба. Отже, використовуючи формулу , підставляємо задані значення та знаходимо сторони:

Звідси, довжина сторін ромба дорівнює .

Приклад 3: знайти площу ромба, діагоналі якого дорівнюють і .

Отже, за умовою маємо, що діагоналі ромба дорівнюють і відповідно. Використавши формулу площі із заданими значенням матимемо:

Таким чином, площа ромба дорівнює .

Приклад 4: чому дорівнює площа ромба, діагоналі якого рівні і ?

Зазначимо, що у цьому випадку діагоналі ромба рівні і . Використовуючи ці значення у формулі площі, матимемо:

Отже, площа ромба дорівнює .

Приклад 5: ромб має довжину сторін і внутрішній кут . Яка його площа?

Отже, скориставшись формулою обчислення площі ромба через сторону та кут матимемо:

Таким чином, площа ромба дорівнює .

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про ромб? Перегляньте ці сторінки: