Як знайти зовнішній кут трикутника

Зовнішній кут трикутника є суміжним внутрішнього кута фігури. У сумі ці кути при кожній з вершин трикутника складають 180 ° і представляють розгорнутий кут.

З назви очевидно, що зовнішній кут лежить за межами трикутника. Щоб уявити собі зовнішній кут, продовжите сторону фігури за вершину. Кут між продовженням боку і другою стороною трикутника, що виходить з цієї вершини, і буде зовнішнім для кута трикутника при даній вершині.

Очевидно, що гострому куту трикутника відповідає тупий зовнішній кут. Для тупого кута зовнішній кут – гострий, а зовнішній кут прямого кута – прямий. Два кути із загальною стороною і сторонами, що належать одній прямій, є суміжними і в сумі складають 180 °. Якщо кут трикутника? відомий за умовою, то суміжний з ним зовнішній кут? визначається так:
?= 180 ° – ?.

Якщо кут? не заданий, але відомі інші два кути трикутника, то їх сума дорівнює величині кута, зовнішнього по відношенню до кутку?. Це твердження випливає з того, що сума всіх кутів трикутника дорівнює 180 °. У трикутнику зовнішній кут більше внутрішнього кута, що не суміжного з ним.

Якщо градусна міра кута трикутника не задана, але зі співвідношення сторін відомі тригонометричні залежності, то за цими даними також можна знайти зовнішній кут:
Sin? = Sin (180 ° -?)
Cos? = -Cos (180 ° -?)
tg? = – Tg (180 ° -?).

Зовнішній кут трикутника можна визначити, якщо не заданий жоден внутрішній кут, а відомі тільки сторони фігури. З зв’язків між елементами трикутника визначте одну з тригонометричних функцій внутрішнього кута. Обчисліть відповідну функцію шуканого зовнішнього кута і по тригонометричним таблиць Брадіса знайдіть його величину в градусах.

Наприклад, з формули площі S = (b * c * Sin?) / 2 визначте Sin ?, а потім внутрішній і зовнішній кут в градусній мірі. Або визначте Cos? з теореми косинусів a? = b? + c? -2bc * Cos ?.

Зовнішні кути трикутника – означення та приклади

Зовнішній кут трикутника – це кут, утворений однією стороною і прилеглою розширеною стороною трикутника.

Сума зовнішніх кутів трикутника завжди дорівнює 360º. Тому, залежно від типу трикутника, ми можемо застосувати різні методи, щоб знайти міру кожного кута.

Тут ми дізнаємось, як визначати міру зовнішніх кутів різних типів трикутників. Крім того, спробуємо розв’язати деякі практичні приклади.

Що таке зовнішній кут трикутника?

Коли будь-яка сторона трикутника подовжується, кут, утворений цією та прилеглою до неї стороною, називається зовнішнім кутом трикутника.

У трикутника три зовнішні кути. Ми знаємо, що внутрішній кут трикутника утворюється всередині нього там, де сторони стикаються у вершині. Зверніть увагу на наступний малюнок, щоб відрізнити внутрішні та зовнішні кути трикутника.

Слід також зазначити, що кожен внутрішній кут трикутника утворює лінійну пару з відповідним зовнішнім кутом. Це означає, що сума кожного зовнішнього кута та його відповідного внутрішнього кута дорівнює 180º.

Властивості зовнішнього кута трикутника.

Існують три основні властивості зовнішніх кутів трикутника:

• у трикутнику кожен зовнішній кут і відповідний йому внутрішній кут утворюють лінійну пару кутів. Це означає, що сума внутрішнього та зовнішнього кутів дорівнює 180º;
• зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох протилежних внутрішніх кутів (віддалених внутрішніх кутів). Це також відомо як теорема про зовнішній кут трикутника;
• сума всіх зовнішніх кутів трикутника дорівнює 360º.

Теорема про зовнішній кут трикутника.

Теорема про зовнішній кут трикутника стверджує, що міра будь-якого зовнішнього кута дорівнює сумі величин двох протилежних (віддалених) внутрішніх кутів трикутника.

Доведемо теорему за допомогою відомих властивостей трикутника. Для цього, розглянемо трикутник ABC. Зазначимо, що для даного трикутника виконується рівність ∠A+∠B+∠C=180º (властивість суми кутів трикутника). Тоді, ∠A=180º-(∠B+∠C).

Як зазначалося вище, α=180º-∠A (лінійна пара кутів). Підставляючи значення для кута A у останню рівність, матимемо:

Таким чином, зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох протилежних його внутрішніх кутів, що і треба було довести.

Як знайти зовнішній кут трикутника?

Зовнішні кути утворюються розширенням сторін трикутника. Залежно від типу трикутника розміри кожного зовнішнього кута будуть змінюватися, але сума завжди залишатиметься незмінною.

Зовнішні кути рівностороннього трикутника.

Рівносторонній трикутник – це трикутник, у якого всі сторони однакові за довжиною та всі внутрішні кути однакової міри. Це означає, що всі його зовнішні кути також мають однакову міру.

Оскільки загальна сума зовнішніх кутів дорівнює 360º, ми можемо розділити її на 3, щоб отримати розмір кожного зовнішнього кута в рівносторонньому трикутнику.

Таким чином, кожен зовнішній кут дорівнює 120º.

Зовнішні кути рівнобедреного трикутника.

Рівнобедрений трикутник – це трикутник, у якого дві сторони однакової довжини. Так само ці трикутники мають два внутрішні кути однакової міри. Це означає, що два зовнішні кути також матимуть однакову міру.

Щоб визначити розміри зовнішніх кутів, нам потрібна міра принаймні одного зовнішнього або внутрішнього кута.

В такому випадку, ми використовуємо факти, що сума зовнішніх кутів дорівнює 360º, а сума внутрішнього кута та відповідного йому зовнішнього кута дорівнює 180º.

Зовнішні кути різностороннього трикутника.

У різносторонньому трикутнику всі сторони мають різну довжину та всі внутрішні кути різної міри. Це означає, що всі його зовнішні кути також мають різну міру.

Отже, щоб знайти зовнішній кут триктуника такого типу, нам потрібно знати величину двох внутрішніх або двох зовнішніх кутів.

Приклади задач та практичних запитань на тему «Зовнішні кути трикутника».

Приклад 1: внутрішній кут трикутника дорівнює 56º. Яка градусна міра відповідного йому зовнішнього кута?

Отже, відповідно до властивостей зовнішнього кута трикутника кожен внутрішній кут утворює лінійну пару з відповідним зовнішнім кутом. Це означає, що сума зовнішнього та внутрішнього кут дорівнює 180º.

За умовою один внутрішній кут дорівнює 56º. Тому відповідний йому зовнішній кут можна обчислити якщо від 180º відняти величину заданого внутрішнього кута.

Таким чином зовнішній кут трикутника дорівнює 180º-56º=124º.

Приклад 2: знайти градусну міру відсутніх зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника.

Зазначимо, що кути, зображені одинарною дугою, мають однакову міру. Отже, кут γ=130º.

Щоб знайти величину кута β, від 360 градусів віднімаємо міри відомих кутів. В результаті отримаємо:

Таким чином, кут β дорівнює 100º.

Приклад 3: знайти градусну міру всіх зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника.

Зазначимо, що у цьому випадку ми маємо міру внутрішнього кута. Тому, віднімаючи заданий кут від 180º ми можемо знайти міру відповідного йому зовнішнього кута:

Міра кута β дорівнює 110º. Тепер, щоб знайти розміри інших двох зовнішніх кутів, від 360º віднімемо величину відомого внутрішнього кута:

Оскільки обидва кути рівні, ділимо 250º на 2. В результаті матимемо:

Таким чином, кути α і γ дорівнюють 125º.

Приклад 4: для зображеного нижче трикутнику, визначте величину відсутнього зовнішнього кута.

Отже, щоб знайти величину кута β, віднімаємо від 360 градусів міри відомих кутів. В результаті отримаємо:

Таким чином, кут β дорівнює 120º.

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про кути трикутника та інших багатокутників? Перегляньте ці сторінки:

4.18: Зовнішні кути та теореми

Зовнішній кут – це кут, утворений однією стороною багатокутника та продовженням сусідньої сторони. У всіх багатокутників є два набори зовнішніх кутів, один, який йде навколо годинникової стрілки, а інший – проти годинникової стрілки. Малюнок \(\PageIndex\) Зверніть увагу, що внутрішній кут і його сусідній зовнішній кут утворюють лінійну пару і складають до \(180^\) . \(m\angle 1+m\angle 2=180^ \) Малюнок \(\PageIndex\) Є дві важливі теореми, які потрібно знати, що стосуються зовнішніх кутів: Теорема про суму зовнішнього кута та теорема зовнішнього кута. Теорема про суму зовнішнього кута стверджує, що зовнішні кути будь-якого багатокутника завжди будуть складатися \(360^\) . Малюнок \(\PageIndex\) \(m\angle 1+m\angle 2+m\angle 3=360^\) \(m\angle 4+m\angle 5+m\angle 6=360^\) . Теорема про зовнішній кут стверджує, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі його віддалених внутрішніх кутів. (Віддалені внутрішні кути – це два внутрішні кути в трикутнику, які не примикають до вказаного зовнішнього кута.) Малюнок \(\PageIndex\) \(m\angle A+m\angle B=m\angle ACD\) Що робити, якби ви знали, що два зовнішніх кути трикутника виміряні \(130^\) ? Як ви могли знайти міру третього зовнішнього кута?

Приклад \(\PageIndex<1>\) Два внутрішніх кута трикутника – це \(40^\) і \(73^\) . Які міри трьох зовнішніх кутів трикутника? Рішення Пам’ятайте, що кожен внутрішній кут утворює лінійну пару (додає до \(180^\) ) із зовнішнім кутом. Отже, оскільки один з внутрішніх кутів це означає \(40^\) , що один із зовнішніх кутів є \(140^\) (тому що \(40+140=180\) ). Аналогічно, оскільки ще один з внутрішніх кутів є \(73^\) , один із зовнішніх кутів повинен бути \(107^\) . Третій внутрішній кут нам не дано, але ми могли б зрозуміти це, використовуючи теорему про суму трикутника. Ми також можемо використовувати теорему про суму зовнішнього кута. Якщо два зовнішніх кути є \(140^\) і \(107^\) , то третій Зовнішній кут повинен бути \(113^\) так \(140+107+113=360\) . Так, міри трьох зовнішніх кутів – 140, 107 і 113.

Приклад \(\PageIndex<2>\) Знайдіть значення \(x\) і міру кожного кута. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Налаштуйте рівняння за допомогою теореми зовнішнього кута. \(\begin \underbrace+(2x−9)^>_\text&=\underbrace<(5x+13)^>_\text \\ (6x−7)^&=(5x+13)^ \\ x&=20 \end\) Підставляємо в 20 для \(x\) того, щоб знайти кожен кут. \([4(20)+2]^=82^[2(20)−9]^=31^ \qquad Exterior \:angle:\: [5(20)+13]^=113^\)

Приклад \(\PageIndex<3>\) Знайдіть міру \(\angle RQS\) . Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Зверніть увагу, що \(112^\) є зовнішнім кутом \(\Delta RQS\) і є додатковим до \(\angle RQS\) . Налаштуйте рівняння для розв’язання відсутнього кута. \(\begin112^+m\angle RQS &=180^ \\ m\angle RQS&=68^\end\)

Приклад \(\PageIndex<4>\) Знайдіть міри нумерованих внутрішніх і зовнішніх кутів у трикутнику. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Ми знаємо це \(m\angle 1+92^=180^\) тому, що вони утворюють лінійну пару. Отже, м\ кут 1=88^ \). Аналогічно, \(m\angle 2+123^=180^\) тому що вони утворюють лінійну пару. Отже, м\ кут 2=57^ \). Ми також знаємо, що три внутрішні кути повинні складати до 180^ \) за теоремою про суму трикутника. \(\begin m\angle 1+m\angle 2+m\angle 3&=180^ \qquad by\: the \:Triangle \:Sum \:Theorem. \\ 88^+57^+m\angle 3&=180 \\ m\angle 3&=35^\end\) Нарешті, \(m\angle 3+m\angle 4=180^ \qquad because\: they\: form \:a \:linear \:pair.\) \(\begin 35^+m\angle 4&=180^ \\ m\angle 4&=145^\end\)

Приклад \(\PageIndex<5>\) Яке значення \(p\) в трикутнику нижче? Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Для початку нам потрібно знайти відсутній зовнішній кут, який ми і будемо називати \(x\) . Налаштуйте рівняння за допомогою теореми про суму зовнішнього кута. \(\begin 130^+110^+x&=360^ \\ x&=360^−130^−110^ \\ x&=120^\end \) \(x\) і \(p\) додати до \(180^\) тому, що вони є лінійною парою. \(\begin x+p&=180^ \\ 120^+p&=180^ \\ p&=60^\end\)

Рецензія

1. Малюнок \(\PageIndex\)
2. Малюнок \(\PageIndex\)
3. Малюнок \(\PageIndex\)
4. Малюнок \(\PageIndex\)
5. Малюнок \(\PageIndex\)
6. Малюнок \(\PageIndex\)

Використовуйте наступну картинку для наступних трьох проблем:

1. Що таке \(m\angle 1+m\angle 2+m\angle 3\) ?
2. Що таке \(m\angle 4+m\angle 5+m\angle 6\) ?
3. Що таке \(m\angle 7+m\angle 8+m\angle 9\) ?