Бісектриси трикутника і їх властивості

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, який сполучає його вершину з точкою на протилежній стороні і ділить даний кут на дві рівні частини. Кожний трикутник має три бісектриси.

Бісектриси трикутника перетинаються в точці О

Бісектриса характеризується наступними властивостями:

1. Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в точці , що знаходиться врседині трикутника, рівновіддалена від трьох його сторін і є центром вписаного кола. Дійсно, розглянемо, спочатку, точку перетину двох біссектрис, наприклад, і . Ця точка однаково віддалена від сторін та , так як вона лежить на бісектрисі кута , і однаково віддалена від сторін та , оскільки належить бісектрисі кута . Значить, вона однаково віддалена від сторін та і тим самим належить третій бісектрисі , тобто в точці перетинаються всі три бісектриси трикутника.
2. Бісектриса будь-якого кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам. До прикладу, для бісектриси , кута матимемо: .

Бісектриса AD кута A трикутника ABC

Бісектриса трикутника – приклади:

Приклад 1: у трикутнику проведено бісектриси і , які перетинаються в точці . Знайти кут , якщо .

Бісектриса AD та BE трикутника ABC

Як відомо, сума кутів будь-якого трикутника дорівнює . Тому, .

Розглянемо тепер трикутник . Так як і бісектриси кутів і відповідно, то . Отже, .

Приклад 2: бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки і . Знайти сторону трикутника , якщо відомо, що .

Отже, як зазначалося вище, бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам. Тобто, в нашому випадку, матимемо .

Якщо в останню рівність підставити дані з умови задачі, то отримаємо , звідки .

Приклад 3: діагоналі вписаного в коло чотирикутника перетинаються в точці , причому , і . Знайдіть площу чотирикутника .

Зазначимо, що шукана площа визначається за формулою , де – величина кута .

Чотирикутник ABCD

Отже, з умови маємо . Таким чином, в трикутнику відрізок ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам. Значить, – бісектриса трикутника .

Тоді, і по теоремі синусів , де – радіус описаного навколо трикутника кола, а якщо бути більш точним, то радіус заданого кола.

Розглянемо далі трикутник . Зазначимо, що даний трикутник являється подібним трикутнику за двома кутами. Тоді, і, по теоремі синусів, матимемо , де – величина кута .

Звідси, шукана площа дорівнює

Докази властивості бісектриси кута

Властивість бісектриси кута полягає в тому , що кожна її точка рівновіддалена від сторін кута.

Це властивість можна сформулювати у формі зворотної теореми: всі точки, що лежать всередині кута і рівновіддалені від його сторін, лежать на його бісектрисі.

Слід згадати, що відстань від точки до прямої – це відрізок, перпендикулярний до даної прямої, проведений з даної точки.

Отже, в прямій теоремі треба довести, що якщо з будь-якої точки, що лежить на бісектрисі, провести перпендикуляри до сторін кута, то ці перпендикуляри будуть рівні.

Дійсно, якщо розглядати трикутники, утворені проведеними перпендикулярами, сторонами кута і бісектрисою, то ці трикутники є прямокутними. У них одна сторона спільна (гіпотенуза) і гострі кути, які утворює бісектриса, рівні один одному.

Звідси випливає рівність прямокутних трикутників. Але якщо два трикутника рівні, значить у них рівні і всі сторони. Тобто катети, які є перпендикулярами до сторін кута, рівні. Це означає, що відстані від точки до сторін рівні, тобто точка рівновіддалена. Це й було потрібно довести.

Відзначимо, що подібне доказ доречно лише для кута, менше розгорнутого.

У зворотній теоремі нам дана якась точка всередині кута, яка за умовою рівновіддалена від сторін кута. Треба довести, що ця точка лежить на бісектрисі.

Якщо відомо, що точка рівновіддаленим від сторін кута, значить перпендикуляри з цієї точки на сторони рівні. Проведемо з цієї точки відрізок до вершини кута. Вийдуть два прямокутних трикутника. Він рівні за загальною гіпотенузі і рівним катетам-перпендикулярам.

Якщо два прямокутних трикутника рівні, значить рівні їх відповідні кути. Кути при вершині розглянутого кута, утворені проведеним відрізком від заданої точки до вершини, відповідні, а значить, рівні один одному. Тобто пряма, на якій лежить цей відрізок, є бісектрисою. На цій же прямій лежить і задана за умовою точка, тобто вона належить бісектрисі.

Таким чином доведено, що точка рівновіддалена від сторін кута лежить на його бісектрисі.