ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

– дізнаємося про аксіоми і основні поняття стереометрії, взаємне розміщення прямих і площин у просторі; паралельне проектування та його властивості, ознаки мимобіжності прямих, паралельності прямої і площини, паралельності площин;

– навчимося класифікувати взаємне розміщення прямих, прямих і площин, площин у просторі; встановлювати паралельність прямих, прямої і площини, площин; мимобіжність прямих; будувати паралельні проекції фігур.

§1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ, АКСІОМИ СТЕРЕОМЕТРІЇ ТА НАЙПРОСТІШІ НАСЛІДКИ З НИХ

Шкільний курс геометрії складається з планіметрії і стереометрії. У курсі планіметрії 7-9 класів ми вивчали властивості плоских геометричних фігур, тобто фігур, усі точки яких лежать в одній площині (відрізок, коло, трикутник тощо).

Стереометрія — це розділ геометрії, який вивчає властивості геометричних фігур у просторі.

Термін «стереометрія» походить від грец. «стереос» – просторовий, «метрео» – міряти.

У стереометрії розглядають як властивості фігур, всі точки яких лежать в одній площині, – плоских фігур, так і властивості фігур, у яких не всі точки лежать в одній площині, – просторових фігур, які ще називають геометричними тілами.

У курсі математики основної школи ми вже ознайомилися з геометричними тілами – прямокутним паралелепіпедом, кубом, пірамідою, циліндром, конусом та кулею (мал. 1.1). Предмети, що нас оточують, зазвичай повторюють форму просторових фігур або їх комбінацій. Тому геометрія, зокрема стереометрія, має і прикладне (практичне) значення. Геометричні задачі доводиться розв’язувати в архітектурі та будівництві, геодезії і машинобудуванні, інших галузях науки й техніки.

На уроках геометрії в 10-11 класах ми значно розширимо та поглибимо знання про геометричні фігури в просторі.

2. Основні поняття стереометри

Основними (неозначуваними, первісними) поняттями в стереометрії є поняття точки, прямої і площини. Нагадаємо, що уявлення про точку дає, наприклад, слід на папері від дотику добре загостреного олівця, слід на дошці від дотику крейди тощо. Позначати точки, як і раніше, будемо великими латинськими літерами А, В, С, D, … .

Уявлення про пряму дає промінь світла, струна на гітарі, розмітка між двома смугами прямолінійної дороги тощо. Прямі можна проводити за допомогою лінійки. При цьому отримують зображення лише частини прямої, а всю пряму уявляють нескінченною в обидва боки. Позначати прямі, як і раніше, будемо малими латинськими літерами a, b, с, d, … або двома великими латинськими літерами за назвами двох точок цієї прямої: АВ, CD, MN, … .

Уявлення про площину дає поверхня стола, футбольне поле, віконна шибка, стеля тощо. Площину в геометрії вважають рівною та необмеженою, вона не має краю та не має товщини. На малюнку площину прийнято зображати у вигляді паралелограма (мал. 1.2) або довільної замкненої області (мал. 1.3). При цьому отримують зображення лише частини площини. Позначати площини можна малими грецькими літерами а (альфа), β (бета), у (гама), ….

Основні властивості найпростіших геометричних фігур у стереометрії формулюють за допомогою аксіом. Аксіоми є початковими істинними твердженнями. Усі аксіоми планіметрії, які відомі нам з 7 класу, справджуються і в стереометрії. Нагадаємо ці аксіоми та зауважимо, що коли мова йде про «дві точки» або «дві прямі», вважаємо, що ці точки або прямі – різні.

І. Яка не була б пряма, існують точки, які їй належать, і точки, які їй не належать.

II. Через будь-які дві точки можна провести пряму і до того ж тільки одну.

III. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

IV. Кожний відрізок має певну довжину, більшу за нуль.

V. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його внутрішньою точкою.

VI. Кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180°.

VII. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

VIII. На площині через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну

Оскільки в планіметрії усі фігури, які ми розглядали, лежали в одній площині, а в стереометрії вони можуть лежати в різних площинах, остання аксіома, яку називають аксіомою паралельності прямих, потребує уточнення.

Нове поняття – площина – потребує ще й розширення системи аксіом, тобто доповнення стереометрії аксіомами, що відображають властивості точок, прямих і площин у просторі.

Тому розглянемо нову групу аксіом – групу аксіом С.

C_І. Яка б не була площина, існують точки, які їй належать, і які їй не належать.

На малюнку 1.4 точки М і N належать площині а (площина а проходить через ці точки), а точки С, К і L – не належать цій площині. Для запису, як і у планіметрії, будемо використовувати символи ∈ і ∉. Тому твердження «точка М належить площині а» можна записати так: М ∈ а, а «точка С не належить площині а» – так: С ∉ а.

С_ІІ. Якщо дві точки прямої належать площині, то всі точки прямої належать цій площині.

У цьому випадку кажуть, що пряма належить площині, або площина проходить через пряму. На малюнку 1.5 точки С і D прямої m належать площині а, тому і пряма т, що проходить через ці точки, належить площині а. Для зручності замість «пряма mналежить площині а» будемо писати: m ⊂ а. Запис n ⊄ а означатиме, що пряма n не належить

площині а, тобто існує така точка прямої n, яка не належить площині а (мал. 1.6 та мал. 1.7). На малюнку 1.6 пряма n і площина а мають одну спільну точку К. У цьому випадку кажуть, що пряма n перетинає площину а в точці К.

Аксіома С_II має різні практичні застосування. Одне з них – перевірка «рівності» лінійки. Із цією метою лінійку прикладають краєм, який перевіряють, до плоскої поверхні, наприклад столу. Якщо край лінійки рівний, то він усіма своїми точками прилягає до поверхні столу. Якщо ж край нерівний, то в деяких місцях між ним і поверхнею столу утворюється просвіт.

Якщо через пряму т проходить дві різні площини а і β, то кажуть, що площини а і β перетинаються по прямій m (мал. 1.8), і записують так: а ∩ β = m.

С_III. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

На малюнку 1.8 площини а і β мають спільну точку P, тобто належить як площині а, так і площині β. Аксіома С_III стверджує, що тоді площини а і β перетинаються по прямій m, причому точка Р, в свою чергу, належатиме цій прямій m.

C_IV. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Практичною ілюстрацією цієї аксіоми є, наприклад, стійкість на підлозі будь-якої триноги (табурета на трьох ніжках, фотоштатива тощо). Три точки А, В, С, які є кінцями триноги, завжди можна розмістити у площині підлоги а (мал. 1.9), таку площину називають трьома її точками – площиною ABC і позначають (ABC). Якщо ж узяти чотири довільні точки, то через них може не проходити жодна площина. Практичною ілюстрацією цього факту може стати стілець, ніжки якого різні за довжиною. Тоді стілець буде стояти на трьох ніжках, тобто спиратися на три точки площини підлоги, а кінець четвертої ніжки (четверта «точка») не буде лежати у цій площині і тому стілець буде хитатися.

4. Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії

Теорема 1 (про існування і єдиність площини, що проходить через пряму і точку, що їй не належить). Через пряму і точку, що їй не належить, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Доведення. Розглянемо пряму а і точку М, М ∉ а (мал. 1.10). 1) Позначимо на прямій а довільні точки С і D. Точки С, D і М не лежать на одній прямій, тому через них за аксіомою C_IV можна провести площину а. Точки С i D лежать у площині а, а тому за аксіомою С_II вся пряма а належить площині а. Отже, площина а проходить через пряму а і точку М.

2) Доведемо, що така площина єдина. Припустимо, що через пряму а і точку М проходить ще якась площина а₁. Але тоді ця площина має проходити і через точки С і D, що лежать на прямій а. Маємо, що через точки С, D і М, які не лежать на одній прямій, проходять дві різні площини, а і a₁, що суперечить аксіомі C_IV.

Отже, наше припущення хибне, а тому через пряму а і точку М, що їй не належить, проходить єдина площина а.

Теорема 2 (про існування і єдиність площини, яка проходить через дві прямі, що перетинаються). Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Доведення. Розглянемо прямі а і b, причому a ∩ b = С (мал. 1.11). Позначимо на прямій b точку М, а на прямій а – точку D, обидві відмінні від точки С. Маємо три точки М, С і D, які не лежать на одній прямій, а тому далі доведення аналогічні до доведення попередньої теореми. Пропонуємо завершити його самостійно.

З аксіоми C_IV та теорем 1 і 2 випливає, що площину можна задавати:

1) трьома точками, що не лежать на одній прямій;

2) прямою і точкою, що їй не належить;

3) двома прямими, що перетинаються.

Ще один спосіб задания площини розглянемо пізніше.

Задача 1. Довести, що через три точки, які лежать на одній прямій, можна провести площину. Скільки існує таких площин?

Доведення. Нехай точки А, В і С лежать на одній прямій – прямій а (мал. 1.12). 1) За аксіомою 1 існує точка, що прямій а не належить, назвемо її M₁. За теоремою 1 через пряму а і точку М₁ можна провести площину, назвемо її a₁. Вона проходитиме через три дані точки.

2) За аксіомою С_I існують точки, які не належать площині a₁. Розглянемо точку М₂, яка не належить площині a₁, а тому не належить і прямій а, оскільки а ⊂ а₁. Тоді через пряму а і точку М₂ можна провести площину а₂. Ця площина також, як і площина а₁, проходить через три дані точки.

Міркуючи аналогічно, можна дійти висновку, що існує безліч площин, які проходять через три точки, що лежать на одній прямій.

Задача 2. Дано площину а і паралелограм ABCD. Чи може площині а належати:

1) тільки одна вершина паралелограма;

2) тільки дві вершини паралелограма;

3) тільки три вершини паралелограма?

Розв’язання. У випадках 1) і 2) може (мал. 1.13 та 1.14).

3) Припустимо, що три вершини паралелограма А, В і D належать площині а, а вершина С – ні (мал. 1.15). Проведемо діагоналі паралелограма АС і BD. Нехай О – точка їх перетину. Оскільки В ∈ а і D ∈ а, то BD ⊂ а, а тому О ∈ а. Оскільки А ∈ а і О ∈ а, то АО ⊂ а. Але С ∈ АО, тому С ∈ а. Маємо, що всі чотири вершини паралелограма належать площині а, що суперечить умові. Отже, наше припущення хибне, а тому тільки три із чотирьох вершин паралелограма ABCD не можуть належати площині а.

Відповідь. 1) Так; 2) так; 3) ні.

5. Найпростіші задачі з геометричними тілами

Оскільки ми вже знаємо деякі відомості про прямокутний паралелепіпед, куб і піраміду, розглянемо кілька задач, пов’язаних з цими фігурами.

Задача 3. На малюнку 1.16 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁.

1) Чи належить точка С₁ площині CDD₁?

2) У якій точці пряма АВ перетинає площину В₁С₁С?

3) Яка площина проходить через точку В і пряму CD?

4) По якій прямій перетинаються площини ABC і А₁В₁В?

Розв’язання. 1) Грань прямокутного паралелепіпеда CDD₁C₁ належить площині CDD₁. Тому точка С₁ належить цій площині.

3) Через точку B і пряму CD проходить площина BCD.

Відповідь. 1) Так; 2) B; 3) (BCD); 4) АВ.

Задача 4. На малюнку 1.17 зображено трикутну піраміду ABCD. Укажіть:

1) усі площини, яким належить пряма KL;

2) точку перетину прямої BN з площиною CAD;

3) пряму перетину площин DKB і ABC.

2) Оскільки L ∈ BN і L ∈ (CAD), то BN ∩ (CAD) = L.

3) Оскільки LB a (DKB) і LB a (ABC), то (DKB) ∩ (ABC) = LB.

Відповідь. 1) (ACD), (DLB); 2) L; 3) LB.

Давньогрецький учений Евклід у своїй видатній праці «Начала» зібрав і узагальнив досвід грецьких математиків. Були відомі Евкліду й аксіоми стереометрії, які ми розглянули є цьому параграфі. Так, наприклад, аксіому С_ІІ Евклід сформулював так: «Частини прямої лінії не можуть лежати одно над площиною, а інша – у самій площині», а аксіому С_ІІІ – так: «Дві площини перетинаються по прямій лінії».

Безсумнівно, «Начала» Евкліда вже понад два тисячоліття слугують зразком дедуктивної побудови геометри. Однак математики впродовж сторіч наголошували на основному недоліку евклідових аксіом – їх неповноті, тобто недостатносте їх для чіткої логічної побудови геометрії, за якої кожне твердження має бути логічно виведене з аксіом та доведених раніше тверджень.

Упродовж століть математики вдавалися до спроб дедуктивної побудови геометри, завершився цей процес лише наприкінці XIX cm. завдяки роботам математиків М. Паша, Дж. Пеано, Дж. Веронезе, М. Пієрі, і в першу чергу завдяки видатному німецькому математику Давиду Гільберту. У своїй класичній праці «Основи геометри» (1899) Гільберт сконструював аксіоматику геометрії таким чином, що логічна структура геометри стала абсолютно прозорою. Так, наприклад, Гільберт не дав прямого означення основних геометричних об’єктів: точки, прямої, площини. Те, що необхідно знати про ці об’єкти, він виклав в аксіомах, які є, по суті, їх непрямими означеннями.

Серед аксіом Гільберта є й аксіоми стереометри. Наприклад, одну з аксіом цього параграфа Гільберт сформулював так: «Якщо точки А і В прямої а лежать в площині а, то будь-яка точка цієї прямої лежить в площині а».

Що таке стереометрія? Які фігури називають плоскими, а які – просторовими? Наведіть приклади плоских і просторових фігур. Назвіть основні поняття стереометрії. Як зображають та позначають площини у стереометрії? Сформулюйте аксіоми стереометрії. Сформулюйте й доведіть найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

1.1. Намалюйте площину а, точку М, що належить цій площині, та точку N, яка цій площині не належить. Запишіть відповідні твердження за допомогою символів.

1.2. Намалюйте площину β та пряму а, що їй належить. Запишіть відповідне твердження за допомогою символів.

1.3. Дано пряму m, що належить площині β. Виконайте малюнок та позначте на ньому точки А і В, які належать площині β, але не належать прямій m.

1.4. Точки А і В належать площині а. Виконайте малюнок та позначте на ньому точку С, яка належить площині а, але не належить прямій АВ, та точку К, яка не належить площині а.

1.5. Намалюйте площину у та пряму а, що перетинає її у точці М. Скільки точок прямої а лежить у площині у?

1.6. (Усно). Які з тверджень істинні:

1) будь-які дві точки завжди належать одній прямій;

2) будь-які три точки завжди належать одній прямій;

3) будь-які три точки завжди належать одній площині;

4) будь-які чотири точки завжди належать одній площині?

1) Чи належить точка С площині ABD?

2) Чи належить точка B площині DCC₁?

3) У якій точці пряма АА₁ перетинає площину АBС?

4) Укажіть деяку пряму, що перетинає площину АА₁В.

5) Яка площина проходить через точку B і пряму С₁С?

6) Укажіть деяку пряму, що належить площині А₁В₁С₁.

1.8. На малюнку 1.19 зображено трикутну піраміду SABC, точку М, що належить ребру АВ, та точку N, що належить ребру SC.

1) Чи належить точка М площині АВС?

2) Чи належить точка B площині SAC?

3) У якій точці пряма SB перетинає площину ABC?

4) Укажіть деяку пряму, що перетинає площину SBC.

5) Яка площина проходить через точку N і пряму SA?

6) Укажіть деяку пряму, що належить площині SAB.

1.9. (Усно). Чи можуть дві різні площини мати лише:

1) одну спільну точку; 2) дві спільні точки;

3) три спільні точки; 4) 2010 спільних точок?

1.10. Чи можуть пряма і площина мати лише:

1) одну спільну точку; 2) дві спільні точки;

3) три спільні точки; 4) 999 спільних точок?

1.11. На малюнку 1.19 зображено трикутну піраміду SABC. Укажіть:

1) пряму перетину площин ASB і SMC;

2) площину, яка проходить через прямі BN і SC.

1.12. На малюнку 1.18 зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть:

1) пряму перетину площин DD₁C₁ і ABD;

2) площину, яка проходить через прямі А₁В і AB₁.

1.13. (Усно). Чи однакові за змістом твердження «пряма належить площині» і «пряма й площина мають спільну точку»? Відповідь обґрунтуйте.

1.14. Відомо, що через три дані точки можна провести принаймні дві площини.

1) Яке взаємне розміщення цих точок?

2) Скільки площин можна провести через ці три точки?

1.15. Відомо, що через дані пряму і точку можна провести принаймні дві площини.

1) Яке взаємне розміщення прямої і точки?

2) Скільки площин можна провести через ці пряму і точку?

Дано дві прямі, через які не можна провести площину.

Чи можуть ці прямі перетинатися? Відповідь обґрунтуйте.

1.17. Дано дві площини, які не перетинаються. Чи можуть ці площини мати спільну точку? Відповідь обґрунтуйте.

1.18. Площини а і β мають спільні точки А, В і С.

1) Чи можна дійти висновку, що а і β збігаються?

2) У якому випадку можна дійти висновку, що а і β збігаються?

1.19. (Усно). Чому мотоцикл з коляскою стоїть на дорозі стійко, а для мотоцикла без коляски потрібна додаткова опора?

1.20. Чому незамкнені двері відчиняються, а замкнені двері нерухомі?

1.21. Прямі АВ і CD перетинаються. Доведіть, що прямі АС і BD лежать в одній площині.

1.22. Через прямі АВ і АС проведено площину. Доведіть, що цій площині належить медіана AM трикутника ABC.

1.23. Доведіть, що через будь-яку пряму і точку можна провести площину. Розгляньте два випадки.

1.24. Доведіть, що через будь-які три точки можна провести площину. Розгляньте два випадки.

1.25. Три прямі, які проходять через точку Р, перетинають пряму а відповідно в точках А, В і С. Доведіть, що точки А, В, С і Р лежать в одній площині.

1.26. Прямі АВ і АС перетинають пряму а в точках М і N відповідно. Доведіть, що точки А, В, С, М і N лежать в одній площині.

1.27. Пряма а проходить через центр кола. Чи можна стверджувати, що пряма перетинає коло? Виконайте відповідний малюнок.

1.28. Пряма B проходить через центри вписаного і описаного кіл трикутника ABC. Чи можна стверджувати, що пряма B належить площині ABC?

1.29. Пряма с перетинає сторони АВ і АС трикутника ABC. Чи можна стверджувати, що пряма с належить площині ABC?

1.30. На малюнку 1.20 зображено трикутну піраміду DABC. Укажіть:

1) площини, яким належать прямі ТЕ, MN, DB, АВ, ЕС (враховуйте всі можливі випадки);

2) точку перетину прямої DN з площиною ABC; прямої СЕ із площиною ABD;

3) точки, що належать як площині ADB, так і площині ABC;

4) пряму, по якій перетинаються площини DTC і ABC.

1.31. На малюнку 1.21 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть:

1) точки, що належать як площині DCC₁, так і площині BTB₁;

2) усі площини, яким належить пряма DL;

3) точку перетину прямої КМ із площиною ABC; прямої BN із площиною А₁B₁С₁;

4) пряму, по якій перетинаються площини NB₁C₁ і ABC.

1.32. (Усно). Як за допомогою двох ниток столяр може перевірити, чи лежать кінці чотирьох ніжок стола (або стільця) в одній площині?

1.33. Площини а і β перетинаються. Пряма а належить площині а і перетинає площинуβр в точці А. Пряма b належить площині β і перетинає площину а в точці В. Доведіть, що АВ – пряма перетину площин а і β.

1.34. Площини а і β перетинаються по прямій с. Пряма а належить площині а і перетинає площину β. Чи перетинаються прямі а і с? Відповідь обґрунтуйте.

1.35. Точка М не належить площині трикутника АВС. Доведіть, що прямі МА і ВС не перетинаються.

1.36. Дано пряму l і точку Р, що їй не належить. Точка К не лежить у площині, що проходить через пряму l і точку β. Доведіть, що прямі l і РК не перетинаються.

1.37. (Усно). Чи однакові за змістом твердження «прямі а і b належать різним площинам» і «прямі а і b не належать одній площині»? Відповідь обґрунтуйте.

1) Перемалюйте малюнок у зошит та побудуйте точку перетину прямої KL із площиною ABC та точку перетину прямої KL із площиною А₁В₁С₁. Побудову обґрунтуйте.

2) За якої умови вказані точки побудувати неможливо?

1.39. РАВС – трикутна піраміда (мал. 1.23).

1) Перемалюйте малюнок у зошит та побудуйте точку перетину прямої MN із площиною ABC. Побудову обґрунтуйте.

2) За якої умови вказану точку побудувати неможливо?

1.40. Дві вершини паралелограма та точка перетину його діагоналей належать площині а. Чи можна стверджувати, що дві інші вершини паралелограма також належать площині а?

1.41. Вершина А опуклого плоского чотирикутника належить площині а (мал. 1.24), а вершини В, С і D не належать цій площині. Прямі СВ і CD перетинають площину а відповідно в точках М і N. Чи правильно виконано малюнок 1.24? Відповідь обґрунтуйте.

1.42. Вершина D плоского чотирикутника ABCD належить площині β, а всі інші вершини – їй не належать. Прямі ВС і АС перетинають площину р відповідно в точках К і L. Доведіть, що точки К, L і D лежать на одній прямій.

1.43. РАВС – трикутна піраміда (мал. 1.23). Пряма MN не паралельна прямій ВС. Перемалюйте малюнок у зошит та побудуйте пряму перетину площин AMN і ABC. Побудову обґрунтуйте.

1.44. ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямокутний паралелепіпед (мал. 1.22). Пряма KL не паралельна прямій AD. Перемалюйте малюнок у зошит та побудуйте пряму перетину площин KLC і ABC. Побудову обґрунтуйте.

1.45. 1) Нехай А, В, С – три точки простору. Доведіть для простору нерівність АВ ≤ ВС + СА.

2) Скільки площин можна провести через точки М, N і Р, якщо MN = 0,5 дм, NP – 40 мм, МР = 8 см?

1.46. Скільки площин можна провести через точки К, L і М, якщо KL = 5 см, LM =110 мм, КМ = 0,6 дм?

1.47. Кожна з трьох прямих перетинається із двома іншими. Скільки різних площин можна провести через дані прямі, взяті попарно? Укажіть і обґрунтуйте всі можливі випадки.

1.48. Основи трьох бісектрис трикутника належать площині а. Чи належать площині а вершини трикутника? Відповідь обґрунтуйте.

1.49. Середини трьох сторін трикутника належать площині а. Чи належать площині а вершини трикутника? Відповідь обґрунтуйте.

1.50. Основи трьох висот трикутника належать площині β. Чи можна стверджувати, що площині β належать і вершини трикутника?

1.51. Відношення висоти до ширини екрана монітора дорівнює 9 : 16. Діагональ екрана монітора дорівнює 40 дюймів. Знайдіть ширину екрана в сантиметрах.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

1.52. На площині дано пряму m і точку А, що цій прямій не належить. Скільки прямих, паралельних прямій m, можна провести через точку А?

1.53. ABCD – паралелограм. У площині паралелограма проведено пряму KL, паралельну ВС. Доведіть, що KL || AD.

Які є аксіоми у геометрії

Проблеми набуття компетентності щодо опанування теорією при вивченні аксіом геометрії та їхніх безпосередніх наслідків

Публікацію присвячено все ще актуальній проблемі вивчення математики: відповідності шкільного курсу математики сучасним уявленням про математику. Вказано на причину гостроти й актуальності цієї проблеми, описано спосіб її подолання.

Публікацію адресовано вчителям математики і учням загально освітніх навчальних закладів, студентам математичних спеціальностей педагогічних університетів.

Мета публікації: допомогти при викладанні математики створювати сучасне уявлення про цей предмет і виробляти уважне ставлення до обґрунтованості викладання дисципліни поданням у завершеному вигляді матеріалу для систематизації та узагальнення знань.

1. Аксіоматика Гільберта

До запровадження аксіом обов’язково запроваджують поділ на фунда­ментальні й нефунда­ментальні поняття.

Фундаментальні (основні) поняття (наприклад, елемент, множина, точка, пряма, площина, простір) не означують, а їхні властивості описують за допомогою аксіом — висловлювань, що приймають без доведення.

Нефундаментальне поняття запроваджують за допомогою означення — висловлювання, що виражає одне математичне поняття через інші, які вже означено або запроваджено аксіомами (фундаментальні поняття).

Наразі в геометрії використовують систему аксіом, розподілену на п’ять груп. Цю класифікацію запропонував німецький математик Давид Гільберт (1862—1943) у 1899 році у праці «Основи геометрії». Навіть якщо на уроках учні вивчають аксіоматичний підхід за підручником, що не містить навіть згадки про цю людину, учнів потрібно ознайомити і з його ім’ям, і з його здобутками. Хоча б у статті стінної газети.

1.1. Аксіоми сполучення

1. Дві різні точки визначають одну пряму. Інакше кажучи, через довільні дві різні точки проходить одна й лише одна пряма.
2. Кожна пряма містить не менше двох різних точок. Існує щонайменше три точки, що не належать до однієї прямої.
3. Через три точки, що не належать до однієї прямої, можна провести площину й лише одну (існує і єдина площина, що містить ці точки). Довільна площина містить щонайменше одну точку.
4. Якщо дві різні точки однієї прямої належать до площини, то й усі точки цієї прямої належать до тієї самої площини.
5. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають щонайменше ще одну (іншу) спільну точку.
6. Існують щонайменше чотири точки, що не належать до однієї площини.

1. Якщо точка В лежить на прямій між точками А і С , то А, В і С — різні точки прямої і В лежить між С і А .
2. Для довільних двох різних точок А і B довільної прямої існує (щонайменше) одна точка С , при якій B розташована між A і С .
3. З трьох точок однієї прямої не більше ніж одна лежить між двома іншими.
4. Якщо у довільній площині дано три різні точки А, В, С і довільну пряму, що не проходить через жодну з цих точок і перетинає відрізок АВ , то ця пряма неодмінно перетне один з відрізків АС чи ВС .

Примітка (до аксіоми порядку 4). Кажуть:

• точки A і B розташовані по різні боки від прямої l, якщо відрізок AB перетинає пряму l у внутрішній точці відрізка AB;
• точки A і B розташовані по один бік від прямої l, якщо відрізок AB не перетинає пряму l.

Аксіому порядку 4 можна переформулювати таким чином:

якщо точки A і B розташовані по різні боки від прямої l і точка C розташована поза прямою l, то:

• або А і C розташовані по один бік від прямої l,
• або В і C розташовані по один бік від прямої l.

За допомогою цієї самої аксіоми можна довести (від супротивного) таке висловлювання:

якщо точки A і B розташовані по один бік від прямої l і точки A і C розташовані по один бік від прямої l, то й точки В і C розташовані по один бік від прямої l.

Таким чином, можна говорити про розбиття площини прямою на дві підмножини — множини точок площини, розташованих по один бік від прямої.

1.3. Аксіоми конгруентності

1. На довільній прямій від довільної її точки можна відкласти відрізок, що дорівнює даному.
2. Два відрізки, що дорівнюють третьому, рівні між собою.
3. Нехай А, В, С — точки однієї прямої, К, L, М — також точки однієї прямої, причому АВ = KL, ВС = LМ . Якщо пара відрізків АВ і ВС , так само як і пара відрізків КL та LМ не має спільних внутрішніх точок, то АС = КМ .
4. Від довільної точки довільної прямої у даний бік можна побудувати один і лише один кут, що дорівнює даному. Кожний кут дорівнює самому собі.
5. Якщо у двох трикутниках AВС й КLМ справджуються рівності сторін: АВ = КL , АС = КМ і рівність кутів ВАС і LKM , то справджується рівність кутів АВС й КLМ .

1.4. Аксіома про паралельність прямих

Через дану точку в даній площині можна провести не більше ніж одну пряму, що паралельна даній прямій.

1.5. Аксіоми неперервності прямої

1. Для довільних двох відрізків АВ і СD при справдженні нерівності: АВ > СD ) на прямій АВ можна від точки А відкласти відрізок СD послідовно стільки разів, що буде отримано відрізок, який не менший від АВ (так звана аксіома Архімеда).
2. Точки прямої лінії утворюють таку систему точок, яку неможливо доповнити новими точками без порушення раніше встановлених аксіом (так звана аксіома лінійної повноти, що лежить в основі взаємно однозначної відповідності між множиною точок прямої і множиною дійсних чисел).

Спільна міра двох відрізків — відрізок, який міститься в кожному з даних відрізків цілу кількість разів (без лишку).

Якщо два відрізки мають спільну міру, їх називають співвимірними, інакше — неспіввимірними. Наприклад, сторона й діагональ квадрата — неспіввимірні.

При запровадженні поняття довжиини відрізка попередньо запроваджують одиницю довжини, за яку можна вибрати довільний відрізок.

Алгоритм вимірювання відрізку, неспіввимірного з одиницею довжини

• Від кінця даного відрізка відкладають на ньому послідовно відрізок, що дорівнює одиниці довжини, таку цілу кількість a 0 разів, щоб залишок був менший за одиницю довжини.
• На залишку відкладають 1/10 одиниці довжини таку цілу кількість a 1 разів, щоб новоутворений залишок був менший за 1/10 одиниці довжини.
• На новоутвореному залишку відкладають 1/10 2 одиниці довжини таку цілу кількість a 2 разів, щоб наступний залишок був менший за 1/10 2 одиниці довжини…
• На залишку відкладають 1/10 k одиниці довжини таку цілу кількість a k разів, щоб наступний залишок був менший за 1/10 k одиниці довжини…

Цей процес ніколи не закінчиться, бо відрізок неспіввимірний з одиницею довжини. Таким чином отримаємо нескінчений десятковий дріб a 0 , a 1 a 2 a 3 … . Дріб буде неперіодичним, бо інакше отримаємо суперечність з неспіввимірностю відрізка й одиниці довжини. Побудовиний нескінчений дріб називають довжиною даного відрізка, неспіввимірного з одиницей довжини. Наприклад, довжини діагоналі квадрата зі стороною, яку вибрано за одиницю довжини, виражають ірраціональним числом 2 1/2 = 1,41421356237309… .

2. Інші системи аксіом

У підручниках з геометрії можна зустріти інші системи аксіом. Інші лише на перший погляд. Насправді це неістотні модифікації аксіоматики Гільберта з метою полегшити сприйняття аксіом учнями.

Крім Гільберта створенням систем аксіом займалися й інші математики:

• Фрідріх Шур (Freidrich Schur) — замінив гільбертові аксіоми конгруентності аксіомами руху;
• Фрідріх Бахман (Freidrich Bachmann) — будовав геометрію на основі поняття симетрії;
• Герман Клаус Гуґо Вейль (Hermann Klaus Hugo Weyl) — запропонував вектори і точки як основні об’єкти.

У поданому вище переліку вказано істотні відмінності від підходу Давида Гільберта. Наприклад, у системі Фрідріха Шура аксіоми конгруентності Гільберта замінено аксіомами руху, що описують властивості рухів — відображень точок, прямих і площин відповідно у точки, прямі і площини. Обидві групи аксіом обох систем виконують одне й те саме завдання, визначаючи різними способами одні й ті самі поняття. Аксіоми конгруентності Гільберта визначають відносини конгруентності безпосередньо, аксіоми руху — через наслідки.

1. Кожний рух H зберігає відношення приналежності. Інакше кажучи, якщо точка А належить до прямої a (площини β), то її образ при русі Н (позначають НА) належить до образу прямої Ha (площини Нβ).
2. Кожен рух зберігає відношення порядку на прямій. Інакше кажучи, для для кожного руху H для довільного напрямку на довільній прямій а можна поставити у відповідність такий напрямок на прямій Ha, що для довільних точок X і Y прямої a справджується таке висловлювання: X< Y ⇒ HX< HY, де символом «
3. Множина рухів утворює (алгебричну) групу. Інакше кажучи:
   • послідовне застосування рухів є рухом — визначено закон композиції (множення елементів групи);
   • при послідовному застосуванні рухів результат не залежить від порядку визначення (не плутати з порядком елементів!): (H₁H₂)H₃ = H₁(H₂H₃) — асоціативна властивість композиції;
   • співставлення кожній точці (прямій, площині) її самої є рух. Цей рух називають тотожним — існує нейтральний елемент, який називають одиницею групи;
   • для кожного руху H існує рух, який позначають H –1 , при якому послідовне застосу­вання рухів H і H –1 є тотожним рухом для кожного елемента групи — для кожного елемента групи існує лівий обернений елемент.

Тут курсивом після кожної властивості її висловлено у термінах теорії груп. Якщо при вивченні теорії не заплановано ознайомлення з елементами теорії груп, то цих слів учням непотрібно й говорити. Інакше їх бажано сказати.

Рух H –1 називають зворотним. Аксіома вимагає, щоб тотожним рухом було послідовне застосування рухів H і H –1 — саме у такому порядку. У курсі вищої алгебри доводять, що послідовне застосування рухів H –1 і H також є тотожним рухом — для кожного елемента групи існує правий обернений елемент.

• точці А прямої а на площині α;
• точці B прямої b на площині β

• точку А в точку В;
• заданий промінь на прямій а з початком A у
  заданий промінь на прямій b з початком B;
• задану півплощину на площині α, обмежену прямою а, у
  задану півплощину на площині β, обмежену прямою b.

3. Означення геометричних фігур

При демонстрації аксіоматичного підходу важливо використовувати лише означені поняття, незалежно від того, як їх запроваджують: індуктивно чи дедуктивно. На жаль, не всі дотримуються цього правила. Наприклад, говорячи про геометричні фігури, не означивши попередньо, що таке геометрична фігура.

Інколи довести деякі властивості фігур, виходячи з традиційних означень, важко. Але використавши еквівалентні, але інші означення, це зробити легко. Проілюструємо це на прикладі властивості опуклості.

Геометрична фігура — це множина точок з певними властивостями, а елемент геометричної фігури — це її підмножина.

Промінь з початком у точці A, розташований на прямій l — це множина всіх тих точок прямої, що розташовані по один бік від точки A на прямій l. Інакше кажучи, для довільних двох різних точок В і С цього променя або В розташована між А і С, або С розташована між А і В.

Продовження променя до прямої — це пряма, що містить промінь як підмножину.

Відрізок АВ — інколи позначають [АВ] — це множина всіх тих точок прямої АВ, які розташовані між точками А і В, та точок А і В. Точки А і В називають кінцями такого відрізка, а решту точок цього відрізка називають внутрішніми точками. Кажуть, що відрізок сполучає точки, що є його кінцями.

Опукла множина (точок) — це множина точок, для довільних двох з яких всі точки відрізка, що їх сполучає, належать до цієї множини.

Зауважимо: перетин довільної кількості опуклих множин є опуклою множиною.

Півплощина, обмежена прямою l на площині — це множина всіх точок площини, що лежать по один бік від прямої l. Інакше кажучи, для довільних двох різних точок півплощини, відрізок, що їх сполучає, не перетинає пряму l.

• коректність означення півплощини випливає з аксіоми порядку 4;
• півплощина є опуклою множиною.

Розгорнутий плоский кут — це півплощина.

Плоский кут, менший від розгорнутого — це перетин двох різних півплощин однієї площини, обмежених різними прямими, що перетинаються в одній точці.

Плоский кут, більший від розгорнутого — це об’єднання двох різних півплощин однієї площини, обмежених різними прямими, що перетинаються в одній точці.

Якщо два різні промені OA і OB на площині належать до однієї прямої, як підмножини, то вони задають два розгорнутих плоских кути — дві півплощини.

Якщо два різні промені OA і OB на площині не належать до однієї прямої, як підмножини, то вони задають два плоских кути:

• перетин двох півплощин:
  • півплощини, обмеженою прямою OA, що містить точку B;
  • півплощини, обмеженою прямою OB, що містить точку A;
  • півплощини, обмеженою прямою OA, що не містить точку B;
  • півплощини, обмеженою прямою OB, що не містить точку A;

  Про обидва ці кути кажуть, що вони мають вершину O і сторони OA і OB.

  Один з цих кутів, більший від розгорнутого, містить як строгі підмножини півплощини, обмежені прямими, що містять O.

  Інший кут, менший від розгорнутого, є строгою підмножиною півплощин, обмежених прямими, що містять O. Маємо: якщо початки двох різних променів збігаються і належать до деякої прямої, а решта точок цих променів лежать по один бік від цієї прямої, той усі точки кута, меншого від розгорнутого й обмеженого цими променями, лежать по той самий бік від цієї прямої, що й промені. Зверніть увагу на це висловлювання: його буде використано у подальшому для доведенні теореми 2 з переліку «очевидних» висловлювань (див. далі).

  Трикутник АBC (за умови, що точки А, B, C не належать до однієї прямої) — це перетин трьох таких півплощин:

  • півплощини, що містить A і обмежена прямою BC;
  • півплощини, що містить B і обмежена прямою AC;
  • півплощини, що містить C і обмежена прямою AB.

  Точки А, B, C називають вершинами трикутника АBC, а відрізки AB, AC, BC — його сторонами.

  Для повного розуміння теорії має бути розуміння її структури з умінням описувати, розпізнавати й застосовувати до всього навчального матеріалу подані у цьому розділі поняття.

  Теорема — висловлювання щодо понять певної математичної теоріїї (наприклад, геометрії). Зазвичай має такий вигляд: якщо (справджується) умова, то (справджується) висновок.

  Проста теорема — теорема, що містить лише одну умову й один висновок. Інакше теорему називають складною .

  Лема — допоміжна теорема.

  Обернена теорема — це теорема, в якій умовою є висновок, а висновок — умовою даної теореми.

  • пряма теорема: якщо внутрішній кут трикутника прямий, то квадрат протилежної сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін;
  • обернена теорема: якщо у трикутнику сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату третьої сторони, то кут, протилежний до найбільшої сторони, є прямим.

  Якщо пряма й обернена теореми справджуються, то їх формулюють як одну теорему, використовуючи поняття необхідності й достатності.

  Необхідна умова — це довільна умова, без справдження якої дане висловлювання хибне.

  Достатна умова — це довільна умова, зі справдження якої випливає істинність даного висловлювання.

  У формулюваннях теорем словосполучення «необхідно й достатньо» замінюють на таке: «тоді й лише тоді», «ті й лише ті», «у тому й лише утому випадку, коли» та інші.

  Протилежна теорема — це теорема, умова й висновок якої є відповідно запереченнями умови й висновку даної теореми. Наприклад:

  • пряма теорема : якщо один внутрішній кут трикутника прямий, то квадрат протилежної сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін;
  • протилежна теорема : якщо серед внутрішніх кутів трикутника немає прямого, то квадрат довільної сторони трикутника відмінний від суми квадратів двох інших сторін.

  5. «Очевидні» висловлювання

  Наразі розрізняють 5 рівнів опанування (математичною) теорією. Це рівні спроможності:

  • відтворити й використати означення понять та їхніх властивостей, встановити допустимість й доцільність використання цих понять;
  • виявляти й формулювати залежність одних властивостей понять від інших, створювати й використовувати власну систему понять;
  • формулювати й доводити твердження про залежність одних властивостей понять від інших, встановлювати правильність розв’язання задач та міркувань;
  • сприйняття й викладу аксіоматичної теорії для певної реалізації;
  • сприйняття й викладу аксіоматичної теорії безвідносно до конкретної реалізації.

  Важливо показати учням досяжність усіх цих рівнів навіть на матеріалі шкільного курсу математики. Чинні навчальні програми передбачають:

  • обов’язкове опанування теорією на перших двох рівнях в усіх загальноосвітніх навчальних закладах;
  • реальне опанування теорією на третьому рівні (локальної дедукції) лише у класах з поглибленим вивченням математики.

  На курсах підвищення кваліфікації вчителів математики почув такі слова: «ЗНО похоронило доведення у загальноосвітній школі». Мова не про хибність самої ідеї ЗНО, а про частку кількості балів, призначених за доведення. Про те, що можна, не уміючи доводити, успішно виконати завдання ЗНО. Хай не найкращим чином, але достатньо для вступу до вишу для навчання за державним замовленням. Інакше кажучи, кінцевий результат вивчення математики у школі з точки зору більшості майбутніх абітурієнтів істотно відрізняється від сучасних уявлень про математику.

  Не тільки й не стільки математики формулювали і розв’язували задачі. Але саме вони доводили правильність розв’язання. Інакше кажучи, вивчення математики у школі настільки відповідає сучасним уявленням про неї, наскільки у цьому вивченні зроблено наголос на доведенні. На початку вивчення геометрії учням намагаються дати уявлення про аксіоматичний підхід. Багато учителів (можливо, й учнів та їхніх батьків) мають сподівання досягнути цієї мети щонайменше при поглибленому вивченні математики. Далі на конкретному прикладі буде показано марність цих сподівань.

  У 1999 році, виступаючи на секції математики Всеукраїнської конференції «Актуальні проблеми вивчення природничо-математичних дисциплін у загальноосвітніх навчальних закладах України», автор звернув увагу на те, що учнів примушують використовувати не лише не доведені, а навіть не сформульовані твердження. Наступний доповідач Є.П.Нелін, автор багатьох підручників і посібників, повторив висловлювання про використання не сформульованих тверджень. Ніхто не заперечував ні першого, ні другого разу.

  Автор мав на увазі, у першу чергу, властивості подільності натуральних чисел, які доводять на основі такого співвідношення:

  Насправді, весь курс алгебри й початків аналізу у школі не є логічно послідовним. Хоча логічну послідовність у викладанні цього курсу можна досягнути. Про це говорить досвід УФМЛ КНУ імені Тараса Шевченка (ще до конференції 1999 року). Успішність було гарантовано наявністю посібника [1], що ліг в основу повного викладу теорії [2].

  Але й з геометрією було (і є) не все гаразд — див., наприклад, задачу № 47 на ст.23 підручника [3], що полягає у доведенні такого висловлювання: відрізки, що сполучають внутрішні точки двох різних сторін трикутника з протилежними вершинами, перетинаються. У підручнику [3] її подано як задачу для учнів 7 класу. Автор запропонував у 1997 році довести цю теорему учням 8 класу на ІІ (районному) етапі Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики у місті Києві. І отримав такий відгук: члени журі з Печерського району, учні якого напотужніше виступають на столичних олімпіадах, зауважили, що не варто давати учням такі складні задачі, які ніхто не може розв’язати. Решта районів промовчали. Інакше кажучи, і учні, і вчителі дружно обходили й не розв’язували при запровадженні аксіом проблему: «рисунок не є доведенням, а лише ілюстрацією». Через пару років уже з іншого приводу від старого вчителя-угорця із Закарпаття автор почув слова, які найвлучніше описують це явище: вчительський популізм.

  Хоча проблему було помічено й озвучено на Всеукраїнському рівні щонайменше у 1999 році, немає підстав вважати, що зараз ситуація покращилася. Ті, хто сумнівається, можуть провести нескладне випробування: без попередньої підготовки, тобто без розгляду поданих нижче теорем, запропонувати учням вивести це висловлювання з аксіом. І переконатися у повній безпорадності більшості учнів. Навіть у класах з поглибленим чи профільним вивченням математики. Навіть серед випускників.

  Зауважимо: відкласти на майбутнє (на час профільного навчання у старшій школі чи у виші) розв’язання проблеми (комбінаторне мислення, правильне сприйняття аксіоматичного підходу, вміння логічно послідовно, стисло й несуперечливо висловлювати свої думки) несе небезпеку проґавити той час, коли цю проблему ще можна розв’язати.

  Далі у вигляді теорем 1–11 перелічено деякі «очевидні» висловлювання, які насправді вимагають доведення. Деякі з цих висловлювань доводять у посібниках і підручниках, їх доведення нескладне для пересічного учня. Тому їх тут подано без доведення. А от згадане висловлювання (теорема 4) й попередні до нього — ні. Тому замість доречної ілюстрації «глобальної індукції» (аксіоматичного підходу) отримуємо «ситуативну дедукцію»: учні бачать потребу доведення лише там, де вказав учитель. А про уміння доводити — розмова окрема. Учителі разом з учнями «будують замки на піску»: доводячи теорему про перетин трьох медіан, висот чи бісектрис трикутника в одній точці, навіть не усвідомлюючи, що вони не можуть довести висловлювання про перетин двох медіан, висот чи бісектрис.

  На думку автора при для демонстрації можливості аксіоматичного підходу для перших наслідків аксіом рисунки для поданих доведень недоречні. Бо кінцевим результатом є уміння розуміти і висловлювати доведення при демонстрації аксіоматичного підходу, уміння помітити необхідність доведення допоміжних висловлювань. Не вирішивши цю проблему при запровадженні поняття аксіоми, учитель не має морального права вимагати від учнів уміння помічати потребу щось доводити, а не ілюструвати. А якщо й буде вимагати, то у найкращому випадку досягне «ситуативної дедукції».

  Теорема 1. Якщо початок променя належить до прямої, то решта його точок або належать до прямої, або лежать по один бік від неї.

  Доведення (від супротивного). Припустимо, що існують:

  • пряма l, що містить початок променя p — точку С;
  • точки A i B променя p, розташовані по різні боки від прямої l.

  Відрізок AB перетинає пряму l у деякій точці. Ця точка є єдиною точкою перетину продовження p і прямої l. Вона збігається з точкою С. Маємо: С розташована між A i B, що суперечить означенню початку променя. Отримана суперечність свідчить про хибність припущення.

  Теорема 2. Об’єднання кута, меншого від розгорнутого, з його сторонами є опукла множина — наслідок запроваджених означень й попередньої теореми 1. Таке об’єднання називають замиканням кута — частковий випадок об’єднання точок фігури з її межею.

  Теорема 3. Нехай промінь з початком у вершині кута, меншого від розгорнутого, лежить всередині кута (тобто всі точки променя, відмінні від його початку, належить до кута). Тоді цей промінь перетинає відрізок, що з’єднує довільні дві точки на різних сторонах кута.

  Доведення. Продовжимо промінь до прямої, яку позначимо l. Доведемо від супротивного, що сторони кута (без початку) лежать по різні боки від прямої l. Припустимо, що сторони кута (без початку) лежать по один бік від прямої l. Тоді й усі точки кута мають лежати по той самий бік від прямої l, у тому числі й точки променя. Отримана суперечність свідчить при хибність припущення. Отже, промені лежать по різні боки від прямої l. Візьмемо довільні точки A, B на різних сторонах кута, відмінні від його вершини. Вони розташовані по різні боки від прямої l, тобто відрізок A, B перетинає пряму l у деякій точці С.

  Доведемо, що ця точка перетину належить до променя. Пряма l складається з трьох частин:

  • початок променя — вершина кута;
  • внутрішні точки променя — всередині кута;
  • точки поза променем — ззовні кута і ззовні замикання кута.

  Вершина кута відмінна від С, бо не лежить на одній прямій з точками A, B (кут не є розгорнутим). Внаслідок справдження попередньої теореми 2 маємо:

  • всі точки відрізка [A, B] належать до замикання кута;
  • точка перетину відрізка [A, B] з прямою l:
    • належить до замикання кута;
    • не належить до сторін кута;
    • належить до кута;
    • належить до променя.

    Теорема 4. Відрізки, що сполучають внутрішні точки двох різних сторін трикутника з протилежними вершинами, перетинаються.

    Доведення. Нехай у довільному трикутнику ABC:
    D — внутрішня точка сторони AB;
    F — внутрішня точка сторони AC.

    Згідно з попередньою теоремою 3:

    • промінь AF перетинає відрізок CD;
    • промінь CD перетинає відрізок AF.

    Згідно з аксіомою сполучення 1 дві різні прямі (AF) і (CD) перетинаються лише в одній точці, яка і є точкою перетину відрізків [AF] і [CD]. Цю точку на рисунку вище позначено літерою G.

    Теорема 5. Дотична до кола має лише одну спільну точку з колом.
    Теорема 6. Пряма, яка має єдину спільну точку з колом, є дотичною до цього кола.
    Теорема 7. Пряма має не більше двох спільних точок з колом.
    Теорема 8. Два різних кола мають не більше двох спільних точок.
    Теорема 9. Паралелограм опуклий.
    Теорема 10. Косинус монотонно спадає при зростанні кута від 0 до 90°.
    Теорема 11. Довільна замкнена ламана l на площині без самоперетинів розбиває цю площину на дві частини. Інакше кажучи, площина є об’єднанням множини точок цієї ламаної і двох множин без спільних точок:

    • для кожної з цих двох множин довільні її дві точки можна сполучити ламаною без перетину з ламаною l;
    • довільна ламана, що сполучає довільні дві точки з різних множин, перетинає ламану l.

    Останнє висловлювання має істотно найдовше доведення. Воно єдине з поданого переліку, яке, не варто виносити на письмове чи усне опитування з обмеженням за часом 15 хвилин на одне питання. Можливо, вчителю варто лише описати схему доведення. З рештою питань учні впораються за 10–15 хвилин письмового опитування.

    Кілька слів про тих, учнів, увагу яких не звернули на ці «очевидні» висловлювання. То не біда, що учні не знають доведення цих тверджень чи навіть самі формулювання. Мільйони дорослих людей також не знають цього. І їм від того не погано. Біда в іншому. Був чудовий привід розвинути критичне мислення до найвищого рівня у час, найсприятливіший для цього. І привід не згадано, і час згаяно.

    Висновки. Шкільний курс математики, у тому числі й геометрії, не є логічно послідовним. Навіть при ознайомленні з аксіоматичним підходом при вивченні перших наслідків з аксіом. Це призводить до викривленого сприйняття математики, виховання неуважного ставлення до обґрунтованості висловлювань і неможливості досягнути достатньо критичного ставлення до отриманих повідомлень. Розв’язання проблеми відоме і потребує незначного навчального часу на корегування наявних підходів.

    1. Вибрані питання елементарної математики/ За ред. чл.-кор. АН УРСР А.В.Скорохода. — К.: Вища школа, 1982. — 455 с.
    2. Рудик О.Б. Початки алгебри, аналізу, аналі­тич­­ної геометрії і теорії ймовір­нос­тей. — Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2005, 416 с.
    3. Погорєлов О. В. Геометрія: Планіметрія. Підручник для 7-9 класів загальноосвітніх навчальних закладів. — 7 видання. — К.: Школяр, 2004. — 240 с.