Як знайти бічні сторони трапеції?

Шкільний курс геометрії передбачає знайомство з усіма видами чотирикутників, в тому числі і з трапеціями. Найбільш базовими завданнями, які стосуються трапецій, є пошук сторін і улов. У цій статті ми розглянемо кілька прикладів вирішення завдань з пошуку бічних сторін трапеції.

Рішення задач про довільній трапеції

Трапеція – це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві – немає. Знаходження збоку в довільній трапеції залежить від вихідних даних. Розглянемо варіант, коли відомі кути при підставі і висота.

завдання 1

Дана трапеція АВСД, у якій проведено висоти ВК і СМ, рівні 6 см. Кути при основі складають 60 і 45 градусів. Потрібно знайти бічні сторони.

Отже, ми маємо два прямокутних трикутника АВК і СДМ, у яких відомо по одному катету і протилежного кута. Cінуси (відношення протилежного катета до гіпотенузи) для значень 60 і 45 градусів – величини відомі: sin 60 = radic-3/2, а sin 45 = radic-2/2.

1. sin 60 = BK / AB, отже АВ = ВК / sin 60
2. АВ = 6 / radic-3/2 = 4radic-3 (див)
3. sin 45 = СМ / СД, звідси СД = СМ / sin 45
4. СД = 6 / radic-2/2 = 6radic-2 (см)

Відповідь: АВ = 4radic-3 см і СД = 6radic-2 см

Рішення задач про прямокутної трапеції

Прямокутної називають трапецію, у якої кути при одній з бічних сторін рівні 90 0 . Розглянемо приклад, як знайти бічну сторону трапеції, якщо відомі три інші сторони.

Завдання 2. Дано три сторони, одна з яких перпендикулярна бічна.

Припустимо, нам дана прямокутна трапеція АВСД, у якій АВ перпендикулярно ВС. Відомо, що АВ = 12 см, ВС = 1 см, АТ = 6 см. Необхідно знайти велику бічну сторону.

З точки С опускаємо проводимо висоту СК і отримуємо прямокутний трикутник СДК і прямокутник АЧЗК. Оскільки у прямокутника протилежні сторони рівні СК = АВ = 12 см, а АК = ВС = 1 см.

Згідно з теоремою Піфагора:

Завдання 3. Дано обидва підстави і кут при підставі

Дана трапеція АВСД, у якій підстави ВС і АД рівні 6 і 10 см відповідно, кут ВАД – прямий, а СДА дорівнює 45 градусів. Знайдіть меншу бічну сторону.

1. Проводимо висоту СК і отримуємо прямокутний трикутник СКД і прямокутник АЧЗК. Оскільки у прямокутника протилежні сторони рівні АК = ВС = 6 см.
2. КД = АТ – АК = 10 – 6 = 4 см
3. cos 45 = radic-2/2 = КД / СД, звідси СД = КД / cos 45
4. Отримуємо СД = 4 / radic-2/2 = 4radic-2 (см)

Рішення задач про рівнобедреної трапеції

Рівнобедреної називають трапецію, у якої бічні сторони рівні. Для того щоб зрозуміти, як знаходити їх, розглянемо такі приклади

Завдання 4. Дано обидва підстави і висоти

Дана трапеція АВСД, у якій АВ = СД, а ВК і СМ – висоти. ВС = 9 см, АТ = 19 см, а ВК = СМ = 12 см. Знайдіть бічну сторону.

Доведемо, що трикутники АВК і ДСМ рівні. За умовою АВ = СД, ВК = СМ. Так як трапеція рівнобедрена, кути ВАК і СДМ рівні. Оскільки ВК і СМ висоти, то дані трикутники прямокутні. Значить кут АВК = 180 – (90 + ВАК), а кут МСД = 180 – (90 + СДМ), а так як ВАК і СДМ рівні, то і АВК і МСД теж. Отже, трикутники АВК і ДСМ і ДСМ рівні за двома сторонами і кутом між ними.

Знайдемо відрізки АК і МД.

• АВ 2 = СД 2 = ВК 2 +АК 2
• АВ 2 = СД 2 = 12 2 +5 2 = 144 + 25 = 169
• АВ = radic- 169 = 13 (см)

Завдання 5. Дано обидва підстави і гострий кут

Дана трапеція АВСД, у якій АВ і СД рівні. ВС = 12 см, АТ = 27 см, а кут при підставі 60 градусів. Знайдіть бічну сторону.

АК = (АТ – ВС) / 2 = (27-12) / 2 = 7,5 (см)

Завдання 6. Дано периметр і середня лінія.

Дана рівнобедрена трапеція АВСД, у якій периметр дорівнює 80, а середня лінія КМ – бічній стороні. Необхідно знайти бічну сторону.

З умови відомо, що Р = 2 х АВ + ВС + АТ.

Відомо, що довжина серединної лінії дорівнює полусумме підстав, тобто КМ = (ВС + АТ) / 2. Звідси ВС + АТ = 2 х АК = 2 х АВ

За умовою СК = АВ. Підставляємо всі дані в формулу периметра.

Як видно з прикладів, більшість завдань про трапеції зводиться до вирішення завдань про прямокутних трикутниках.

Діагональ рівнобедреної трапеції ділить її середню лінію у відношенні 3 : 5. Знайти основи трапеції, якщо середня лінія дорівнює 24 см.​

Діагональ трапеції ділить середню лінію на частини у відношені 3÷5.Тоді 3х+5х=24, х =24÷8, х=3.Перша частина середньої лінії 3х= 3×3=9 (см), а друга- 3×5=15см.

Отже, діагональ ділить трапецію на два трикутники.Частина , яка рівна 3 , тобто 9см є середньою лінією першого трикутника , тоді менша основа у 2 рази більша, тобто 9×2=18см, а більша- 15×2=30 см.Відповідь: 18см і 30см.

Новые вопросы в Геометрия

У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС висоти AD і ВЕ перетинаються під кутом 50°. Знайдіть кути цього трикут- ника. срочно пж

Виконати завдання в зошит, виконуючи відповідні малюнки. №1-3 з коротким поясненням.№4-6 записуючи що дано, що треба знати і пове пояснення.