Тригонометричні рівняння

Рішення тригонометричних рівнянь і систем тригонометричних рівнянь грунтується на рішенні найпростіших тригонометричних рівнянь.

Нагадаємо основні формули для вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

При | a | > 1 рішень не існує.

При | a | > 1 рішень не існує.

Рішення рівнянь виду tg (x)=a.
x=arctg (a) + ?*k, де k належить Z.

Рішення рівнянь виду ctg (x)=a.
x=arcctg (a) + ?*k, де k належить Z.

Деякі часті випадки:

sin (x)=1; x=? / 2 +2*?*k, де k належить Z.

sin (x)=0; x=?*k, де k належить Z.

sin (x)=-1; x=-? / 2 +2*?*k, де k належить Z.

cos (x)=1; x=2*?*k, де k належить Z.

cos (x)=0; x=? / 2 + ?*k, де k належить Z.

cos (x)=-1; x=? +2*?*k, де k належить Z.

Розглянемо кілька прикладів:

Приклад 1. Вирішити тригонометричне рівняння 2*(sin (x)) ^ 2 + sin (x)-1=0.

Рівняння такого виду вирішуються зведення до квадратного рівняння заміною змінної.

Нехай у=sin (x). Тоді отримуємо,

Вирішуємо отримане увадратное рівняння одним з відомих способів.

Отже, отримуємо два найпростіших тригонометричних рівняння які вирішуються за формулами, зазначеним вище.

sin (x)=1 /2, x=((-1) ^ k)*arcsin (1/ 2) + pi*k=((-1) ^ k)*pi / 6 + pi*k, длю будь-якого цілого k.

sin (x)=-1, x=-pi / 2 +2*pi*n, де n належить Z.

Приклад 2. Вирішити рівняння 6*(sin (x)) ^ 2 + 5*cos (x)-2=0.

За основним тригонометричного тотожності замінюємо (sin (x)) ^ 2 на 1-(cos (x)) ^ 2

Отримуємо квадратне рівняння щодо cos (x):

6*(cos (x)) ^ 2-5*cos (x)-4=0.

Вводимо заміну y=cos (x).

Вирішуємо отримане квадратне рівняння y1=-1 / 2, y2=1 (1 /3).

Так як y=cos (x), а косинус не може бути більше одиниці, отримуємо одне найпростіше тригонометричне рівняння.

x=± 2*pi / 3 +2*pi*k, при будь-якому цілому k.

Приклад 3. tg (x) + 2*ctg (x)=3.

Введемо змінну y=tg (x). Тоді 1 / y=ctg (x). отримуємо

Множимо на y не рівне нулю, отримуємо квадратне рівняння.

tg (x)=2, x=arctg (2) + pi*k, для будь-якого цілого k.

tg (x)=1, x=arctg (1) + pi*k, pi / 4 + pi*k, для будь-якого цілого k.

Приклад 4. 3*(sin (x)) ^ 2-4*sin (x)*cos (x) + (cos (x)) ^ 2=0.

Це рівняння зводиться до квадратного діленням або на (cos (x)) ^ 2, або на (sin (x)) ^ 2. При розподілі на (cos (x) ^ 2 отримаємо

3*(tg (x)) ^ 2-4*tg (x) +1=0.

tg (x)=1, x=pi / 4 + pi*n, для будь-якого цілого n

tg (x)=1 /3, x=arctg (1/ 3) + pi*k, для будь-якого цілого k.

Приклад 4. Вирішити систему рівнянь

З пергових рівняння висловимо y,

Тоді отримаємо, 2*sin (y)=2*sin (x-5*pi / 3)=2*(sin (x)*cos (5*pi / 3)-cos (x)*sin (5*pi / 3))=2*(sin (x)*(1/ 2)-((?3) / 2)*cos (x))=sinx +?3*cos (x).

Підставляємо це в друге рівняння системи одержимо cos (x)=0, x=pi / 2 + pi*n, для будь-якого цілого n.

Тепер знаходимо y,

y=x-5*pi / 3=pi / 2 + pi*n-5*pi / 3=-7*pi / 6 + pi*n, для будь-якого цілого n.

Відповідь: (pi / 2 + pi*n;-7*pi / 6 + pi*n), для будь-якого цілого n.

Яке рівняння не має коренів? Приклади рівнянь

Рішення рівнянь у математиці займає особливе місце. Цьому процесу передує безліч годин вивчення теорії, в ході яких учень дізнається способи розв’язування рівнянь, визначення їх виду і доводить навик до повного автоматизму. Однак далеко не завжди пошук коренів має сенс, так як їх може просто не бути. Існують особливі прийоми знаходження коренів. У даній статті ми розберемо основні функції, їх області визначення, а також випадки, коли їх коріння відсутні. Яке рівняння не має коренів?

Рівняння не має коренів в тому випадку, якщо не існує таких дійсних аргументів х, при яких рівняння тотожне вірно. Для неспеціаліста дана формулювання, як і більшість математичних теорем і формул, виглядає дуже розмитою і абстрактної, однак це в теорії. На практиці все стає гранично просто. Наприклад: рівняння 0 * х = -53 не має рішення, так як не знайдеться такого числа х, твір якого з нулем дало б щось, крім нуля.

Зараз ми розглянемо основні типи рівнянь. 1. Лінійне рівняння

Рівняння називається лінійним, якщо його права і ліва частини представлені у вигляді лінійних функцій: ax + b = cx + d або в узагальненому вигляді kx + b = 0. Де а, b, з, d – відомі числа, а х – невідома величина. Яке рівняння не має коренів? Приклади лінійних рівнянь представлені на рисунку нижче.

В основному лінійні рівняння вирішуються простим перенесенням числовий частини в одну частину, а вміст х – в іншу. Виходить рівняння виду mx = n, де m і n – числа, а х – невідоме. Щоб знайти х, досить розділити обидві частини на m. Тоді х = n/m. В основному лінійні рівняння мають один корінь, однак бувають випадки, коли коріння або нескінченно багато, або немає зовсім. При m = 0 і n = 0 рівняння приймає вигляд 0 * х = 0. Рішенням такого рівняння буде абсолютно будь-яке число.

Однак яке рівняння не має коренів?

При m = 0 і n = 0 рівняння не має коренів з безлічі дійсних чисел. 0 * х = -1; 0 * х = 200 – ці рівняння не мають коренів. 2. Квадратне рівняння

Квадратним рівнянням називається рівняння виду ax2 + bx + c = 0 при а = 0. Найпоширенішим способом вирішення квадратного рівняння є рішення через дискриминант. Формула знаходження дискримінанта квадратного рівняння: D = b2 – 4 * a * c. Далі знаходиться два кореня х1,2= (-b ± ?D) / 2 * a.

При D > 0 рівняння має два кореня, при D = 0 – корінь один. Але яке квадратне рівняння не має коренів? Поспостерігати кількість коренів квадратного рівняння простіше всього за графіком функції, що представляє собою параболу. При а > 0 гілки спрямовані вгору, при а < 0 гілки опущені вниз. Якщо дискриминант від'ємний, таке квадратне рівняння не має коренів на множині дійсних чисел.

Також можна визначити візуально кількість коренів, не обчислюючи дискриминант. Для цього потрібно знайти вершину параболи і визначити в яку сторону спрямовані гілки. Визначити координату x вершини можна за формулою: х0 = -b / 2a. У цьому випадку координата y вершини знаходиться простою підстановкою значення х0 в початкове рівняння.

Квадратне рівняння x2 – 8x + 72 = 0 не має коренів, так як має негативний дискриминант D = (-8)2 – 4 * 1 * 72 = -224. Це означає, що парабола не стосується осі абсцис і функція ніколи не приймає значення 0, отже, рівняння не має дійсних коренів. 3. Тригонометричні рівняння

Тригонометричні функції розглядаються на тригонометричної окружності, однак можуть бути представлені і в декартовій системі координат. У даній статті ми розглянемо дві основні тригонометричні функції та їх рівняння: sinx і cosx. Так як дані функції утворять тригонометрическую окружність з радіусом 1, |sinx| |cosx| не можуть бути більше 1. Отже, якесь рівняння sinx не має коренів? Розглянемо графік функції sinx, представлений на картинці нижче.

Ми бачимо, що функція є симетричною і має період повторення 2pi. Виходячи з цього, можна говорити, що максимальним значенням цієї функції може бути 1, а мінімальним -1. Наприклад, вираз cosx = 5 не буде мати коренів, так як за модулем воно більше одиниці.

Це найпростіший приклад тригонометричних рівнянь. Насправді їх рішення може займати багато сторінок, в кінці яких ви усвідомлюєте, що використовували неправильну формулу і все потрібно починати спочатку. Деколи навіть при правильному знаходженні коренів ви можете забути врахувати обмеження по ОДЗ, з-за чого у відповіді з’являється зайвий корінь або інтервал, і вся відповідь звертається до помилковий. Тому строго стежте за всіма обмеженнями, адже не всі корені вписуються в рамки завдання. 4. Системи рівнянь

Система рівнянь являє собою сукупність рівнянь, об’єднаних фігурною або квадратної дужками. Фігурні дужки позначають спільне виконання всіх рівнянь. Тобто якщо хоча б одне з рівнянь не має коренів або суперечить іншому, вся система не має рішення. Квадратні дужки позначають слово “або”. Це означає, що якщо хоча б одне з рівнянь системи має рішення, то вся система має рішення.

Відповіддю системи з квадратними дужками є сукупність всіх коренів окремих рівнянь. А системи з фігурним дужками мають тільки загальні корені. Системи рівнянь можуть включати абсолютно різноманітні функції, тому така складність не дозволяє сказати відразу, яке рівняння не має коренів. Узагальнення і поради по знаходженню коренів рівняння

В задачниках і підручниках зустрічаються різні типи рівнянь: такі, які маю коріння, і не мають їх. В першу чергу, якщо у вас не виходить знайти коріння, не думайте, що їх немає зовсім. Можливо, ви вчинили де-небудь помилку, тоді достатньо лише уважно перевірити ваше рішення.

Ми розглянули основні рівняння та їх види. Тепер ви можете сказати, яке рівняння не має коренів. У більшості випадків зробити це зовсім не важко. Для досягнення успіху в розв’язанні рівнянь потрібно лише увагу і зосередженість. Практикуйтеся більше, це допоможе вам орієнтуватися в матеріалі набагато краще і швидше.

Отже, рівняння не має коренів, якщо: у лінійному рівнянні mx = n значення m = 0 і n = 0; у квадратному рівнянні, якщо дискриминант менше нуля; у тригонометрическом рівнянні виду cosx = m / sinx = n, якщо m > 0, |n| > 0; у системі рівнянь з фігурними дужками, якщо хоча б одне рівняння не має коренів, і з квадратними дужками, якщо всі рівняння не мають коренів. Автор: Max Kuznetsov 17 Серпня, 2018

Які з тригонометричних рівнянь немає коріння

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція – підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Контакти

Адміністратор,
розв’язування задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype,facebook:
roman.yukhym

Розв’язування задач
Андрій

facebook:
dniprovets25